《高等代数(北大版)第8章习题参考答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数(北大版)第8章习题参考答案.pdf（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章 矩阵 1. 化下列矩阵成标准形 1） 2） 3） 4） 5） 6） 解 1）对矩阵作初等变换,有 A = B， B即为所求。 2）对矩阵作初等变换,有 A = B， B即为所求。 3）因为的行列式因子为 1 =1, 2 =, 3 = ， 所以 1 = 1, 2 = = , 3 = = ， 从而 A = B， B即为所求。 4）因为的行列式因子为 1 =1, 2 =, 3 = , 4 = ， 所以 1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ， 从而 A = B， B即为所求。 5）对矩阵作初等变换,有 A = B， B即为所求。 6）对矩阵作初等变换,有 A ， 在最后一个行列
2、式中 3 =1, 4 =, 5 = ， 所以 1 =2 =3 =1, 4 = =, 5 = =。 故所求标准形为 B = 。 2.求下列矩阵的不变因子: 1） 2） 3） 4） 5） 解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为 1 =1, 2 =1, 3 = ， 故该矩阵的不变因子为 1 =2 =1, 3 =。 2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为 3 =2 =1 =1, 4 =， 故矩阵的不变因子为 1 =2 =3 =1, 4 =。 3）当时,有 4 = = ， 且在矩阵中有一个三阶子式 = ， 于是由 ,3 = 1， 可得 3 = 1， 故该矩阵的不
3、变因子为 1 =2 =3 =1, 4 = 。 当时,由 1 =1, 2 =1, 3 = , 4 = ， 从而 1 =2 =1, 3 = , 4 = = 。 4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为 1 =1, 2 =1, 3 =1, 4 = ， 从而所求不变因子为 1 =2 =3 =1, 4 = 。 5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式 因子为 3 =1, 4 = ， 故所求不变因子为 1 =2 =3 =1, 4 = 。 3.证明: 的不变因子是 ， 其中= 。 证 因为 n = ， 按最后一列展开此行列式，得 n = ， = ， 因为矩阵左下角的阶子式
4、= ,所以= 1,从而 1 =2 = = = 1， 故所给矩阵的不变因子为 1 =2 = = = 1， = = ， 即证。 4. 设A是数域P上一个阶矩阵, 证明A与相似。 证 设 A = ， 则 = ， 因为A与相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子,所以只需证明与 有相同的不变因子即可。 注意到与对应的级子式互为转置, 因而对应的级子式相等, 故 与 有相同的各级行列式因子, 从而有相同的不变因子, 即证A与相似。 5. 设 A = 求。 解 因为 = ， 所以 = = = = = 。 6. 求下列复系数矩阵的若尔当标准形: 1） 2） 3） 4） 5） 6) 7) 8) 9) 10)
5、11) 12) 13) 14) 解 1）设原矩阵为A ,则 = ， 于是A的初等因子是 , , ， 故A的若尔当标准形为 = 。 2）设原矩阵为A ,则 = ， 于是A的初等因子是 , ， 故A的若尔当标准形为 = 。 3) 设原矩阵为A ,则 = ， 于是A的初等因子是, ,故A的若尔当标准形为 = 。 4) 设原矩阵为A ,则 = ， 于是A的初等因子是，故A的若尔当标准形为 = 。 5) 设原矩阵为A ,则 = ， 于是A的初等因子是, , , 从而A的若尔当标准形为 = 。 6) 设原矩阵为A ,则 = ， 于是A的初等因子是, , , 从而A的若尔当标准形为 = 。 7) 设原矩阵为
6、A ,则 = ， 于是A的初等因子是, ,故A的若尔当标准形为 = 。 8) 设原矩阵为A ,则 = ， 于是A的初等因子是, 故A的若尔当标准形为 = 。 9) 设原矩阵为A ,则 = ， 于是A的初等因子是, ,故A的若尔当标准形为 = 。 10) 设原矩阵为A ,则 = ， 设 =, 则由“卡当”公式可解得 其中. 于是A的初等因子是, , ,故A的若尔当标准形为 = 。 11) 设原矩阵为A ,则 = ， 于是A的初等因子是,故 A的若尔当标准形为 = 。 12) 设原矩阵为A ,则 = ， 因为三阶子式无公共非零因式,所以的行列式因子为 3 =1, 4 = ， 于是 4 = , 3
7、=2 =1 =1， 因此A的初等因子是,故 A的若尔当标准形为 = 。 13) 设原矩阵为A ,则 = ， 所以A的初等因子是, , , ,故 A的若尔当标准形为 = 。 14) 设原矩阵为A ,则 = ， 于是有一个阶子式 = ， 所以的行列式因子为 1 =2 = = = 1， = = =， 其中1, ,是个次单位根, 所以A的初等因子为 , , , ， 故 A的若尔当标准形为 =。 注 上述矩阵的若尔当标准形也可用波尔曼公式求得,留给读者作为 练习。 7. 把习题6中各矩阵看成有理数域上矩阵,试写出它们的有理标准 形。 解 1)已知A = ,且 = ， 所以A的有理标准形为 = 。 2)已
8、知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 , ， 故A的有理标准形为 = 。 3)已知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 , , ， 故A的有理标准形为 = 。 4)已知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 , ， 故A的有理标准形为 = 。 5)已知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 , ， 故A的有理标准形为 = 。 6)已知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 , , ， 故A的有理标准形为 = 。 7)已知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 , , ， 故A的有理标准形为 = 。 8)已知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 , ， 故A的
9、有理标准形为 = 。 9)已知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 , ， 故A的有理标准形为 = 。 10)已知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 , ， 故A的有理标准形为 = 。 11)已知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 , ， 故A的有理标准形为 =。 12)已知 A = ，且 = ， 因为4 = ,3 =(三阶子式的公因式是零次多项式),所以A的不变因子 为 , ， 故A的有理标准形为 =。 13)已知 A = ,且 = ， 所以A的不变因子为 ， ， 故A的有理标准形为 =。 14)已知 A = ,且 = = ， 又因为 ， 所以。这意味着A的不变因子为 , ， 故A的有理标准形为 = 。 二. 补充题参考解答 1. A是维线性空间上V的线性变换。 1) 若A在V的某基下的矩阵A是某多项式的伴侣阵, 则A的最小多项式 是； 2)设A的最高次的不变因子是, 则A的最小多项式是。 证 1) 设A在V的基下的矩阵为A, 多项式 ， 则的伴随矩阵为 A， 故A的不变因子为 , ， 这意味着是A的最高次的不变因子, 因此, 也是A的初等因子的最小公倍 式, 从而它是A的最小多项式，即证.。 2)由1)的证明即知A的最高次的不变因子是, 也是A的最小多项式.。
