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1、 数学模型作业答案第二章(1)（2012年12月21日）1 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）. 1中的Q值方法；（3）.dHondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下
2、标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配结果为： 方法二（Q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：第10个席位：计算Q值为 最大，第10个席位应给C.分配结果为 方法三（dHondt方法） 此方法的分配结果为：此方法的道理是：记和为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人数，取从而得到的中选较大者，可使对所有的尽量接近. 再考虑的分配方案
3、，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC 3 2 2 3 3 3 4 5 54 4 35 5 56 6 7总计 10 10 1015 15 152 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑到时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得两边积分，得 第二章(2)（2008年10月9日）15速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车获得的功率与、S、的关系.解: 设、S、的关系为， 其量纲表达式为:P=,
4、=,=,=,这里是基本量纲.量纲矩阵为：A=齐次线性方程组为：它的基本解为由量纲定理得， ， 其中是无量纲常数.16雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设, 的关系为,=0.其量纲表达式为=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为 A=齐次线性方程组Ay=0 ，即 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲定理 得 . ，
5、其中是无量纲常数.16雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设,， 的关系为.其量纲表达式为=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0 即 的基本解为 得到两个相互独立的无量纲量即 . 由 , 得 , 其中是未定函数. 20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的
6、速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期,摆长, 质量,重力加速度，阻力系数的关系为其量纲表达式为：， 其中，是基本量纲.量纲矩阵为 A=齐次线性方程组 的基本解为得到两个相互独立的无量纲量, , ，其中是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为,；,;,. 又 当无量纲量时， 就有 .数学模型作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型
7、中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少解：设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本 对于不允许缺货模型，每天平均费用为： 令 ， 解得由 ，得与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变 对于允许缺货模型，每天平均费用为： 令，得到驻点：与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数，销售速率为常数，在每个生产周期内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况. 解：由题意可得贮存量的图形如下：O 贮存费为
8、 又 , 贮存费变为 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 . , 得 易得函数取得最小值，即最优周期为： . 相当于不考虑生产的情况. . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如下假设: ，分母而加的.总费用函数最优解为 5在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本随时间增长，设，.又设单位时间的销售量为.今将销售期分为两段，每段的价格固定，记作
9、.求的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为，再求的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为 又 .于是总利润为=, 得到最优价格为:在销售期T内的总销量为于是得到如下极值问题： 利用拉格朗日乘数法，解得：即为的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费2500（元）;每天每吨角钢的贮存费0.18（元）.又现在
10、的订货周期T30（天）根据不允许缺货的贮存模型：得：令 ， 解得： 由实际意义知：当（即订货周期为）时，总费用将最小. 又300100k =35333100k（353.33100k）（300100k）5333.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T=，能节约费用约5333元.数学模型作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用原料2千克, 原料4千克.现有原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S则此问题的
11、数学模型为： max S=20x+30y s.t. 这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线：x+2y=20, :5x+4y70 y 以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线：20x+30y=c在可行域内 平行移动. 易知：当过与的交点时， xS取最大值. 由 解得 此时 20350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲5220乙4510 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,所获利润为则问题的数学模型可表示为 这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线 及组成直线 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当过与的交点时，取最大值由 解得 . 3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料
