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1、平行四边形判定新方法“坐标法” 吴冠男桐乡市第三中学314500 在近年的中考试题中有大量关于动点平行四边形判断的问题，常规解法基本 上是以通过几何证明的途径来解决，笔者以直角坐标系为基础， 运用代数的方法 来解决此类问题 命题：在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为以),( 11 yxA、 ),( 22 yxB、),( 33 yxC、),( 44 yxD， 若 4231 4231 yyyy xxxx ， 则四边形 ABCD 为平行四边形 证 明 ： 因 为 4231 4231 yyyy xxxx ， 所 以 22 22 4231 4231 yyyy xxxx ，可得 AC与 BD
2、中点重合，即 对角线 AC 、BD相互平分，故四边形ABCD 为平行四边形 简而言之：四边形对角顶点横、 纵坐标相加分别相等， 则该四边形为平行四 边形用该命题证明四边形为平行四边形的方法为称为“坐标法” 【例 1】如图，在直角坐标系中，有)2 ,1(A，)1 ,3(B，)4, 1(C三点，另有一点D 与 A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标 . 解：设),(yxD，由题意可得， （1）以 AB 、CD为对角线， y x 412 13)1( ，解得 1 1 y x ，即 ) 1, 1(D ； （2）以 AC 、BD为对角线， y x 142 31)1( ，解得 5 3 y x ，即)5
3、,3(D； （3）以 AD 、BC为对角线， 412 13)1( y x ，解得 3 5 y x ，即 )3,5(D ； 故 D的坐标为)1, 1(或)5 , 3(或)3,5( 【例 2】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A的坐标为 (2,0) , 抛物线xaxy32 2 经过点A，点D是该抛物线的顶点 若点P是x轴上一点， 以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点Q在y轴上，写出 点P的坐标 解：因为抛物线xaxy32 2 经过)0,2(A，所以0344a，解得3a， 所以抛物线解析式为xxy323 2 ，可得) 0,2(A、)3, 1(D，设)0,(xP、), 0(
4、yQ， 可得， （1）以AD、PQ为对角线， y x 0)3(0 012 ，解得 3 3 y x ，即)0,3( 1 P； （2）以 AP 、DQ为对角线， y x )3(00 012 ，解得 3 1 y x ，即)0, 1( 2 P； （3）以 AQ 、DP为对角线， 0)3(0 102 y x ，解得 3 1 y x ，即)0, 1( 3 P； 故P的坐标为)0, 3(或)0, 1(或)0, 1( 【例 3】如图，已知)0( 6 x x y图象上一点 P，PA x 轴于点 A（3，0） ，点 B坐 标为（0，1） ，动点 M是 y 轴正半轴上 B点上方的点，动点N在射线 AP上，过点 B作
5、AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ ，取AQ的中点为 C 当点 Q在射线 BD上时，若以点 B，C ，N ，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出 点 Q的坐标 解：可得直线 BD的解析式13xy，设)13,(xxQ， 因为 C为 AQ的中点，则点 C的坐标为) 2 13 , 2 3 ( xx ， 因为 N在射线 AP上，可设), 3(yN， 四点坐标分别为) 1 ,0(B、),3(yN、) 2 13 , 2 3 ( xx C、 ) 13,(xxQ， 由坐标法可得， （1）以 BN 、CQ为对角线， ) 13( 2 13 1 2 3 30 x x y x x ， P y x A
6、 B D O M N Q C 由得1x，即)4, 1( 1 Q； （2）以 BC 、NQ为对角线， ) 13( 2 13 1 3 2 3 0 xy x x x ， 由得3x， 由于 Q在射线 BD上，所以0 x，故3x舍去； （3）以 BQ 、CN为对角线， 2 13 ) 13(1 3 2 3 0 y x x x x ， 由得9x，即)28,9( 2 Q； 可见，在解决动点平行四边形的判断过程中，可以借助代数的观点来解决几 何问题，充分发挥数形结合的数学思想，可以简化解题过程 【练习】如图， 抛物线3 2 bxaxy与y轴交于点 C， 与x轴交于 A （1,0） 、 B （-3,0 ） 两点若 E点在 x 轴上， F点在抛物线上，如果 A、 C、E、F构成平行四边形，写出点E的坐标 答 ：E的坐 标为)0,3(或)0,72(或)0,72(或 )0 ,1(
