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1、【知识网络】 【思想方法】 1转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简 单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分 式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程 的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等 2建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问 题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题 分式方程模型求解解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想， 对培养
2、通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义 3类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分 式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些 运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程 第一讲 分式的运算 【知识要点】 1.分式的概念以及基本性质 ; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值( 通分与约分 ) 4. 幂的运算法则 【主要公式】 1.同分母加减法则:0 bcbc a aaa 2. 异分母加减法则:0,0 bdbcdabcda ac acacacac ; 3.
3、 分式的乘法与除法: bdbd acac ?, bcbdbd adacac ? 4. 同底数幂的加减运算法则: 实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法;a m a n =a m+n ; a m a n =a m n 6.积的乘方与幂的乘方 :(ab) m = a m b n , (a m ) n= a mn 7. 负指数幂 : a -p=1 p a a 0=1 8.乘法公式与因式分解: 平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b2 ;(a b)2= a22ab+b2 （一） 、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A、B是整式，且B中
4、含有字母，B0) 的式子，叫做分式. 其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例 1】下列代数式中： yx yx yx yx ba ba yx x 1 , 2 1 , 22 ，是分式的有：. 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零. 如果分母的值是零，则分式没 有意义 . 【例 2】当x有何值时，下列分式有意义 （1） 4 4 x x （2） 2 3 2 x x （3） 1 2 2 x （4） 3| 6 x x （5） x x 1 1 题型三：考查分式的值为0 的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 【
5、例 3】当x取何值时，下列分式的值为0. （1） 3 1 x x （ 2） 4 2| 2 x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例 4】 （1）当x为何值时，分式 x8 4 为正； （2）当x为何值时，分式 2 ) 1(3 5 x x 为负； （3）当x为何值时，分式 3 2 x x 为非负数 . 练习： 1当x取何值时，下列分式有意义： （1） 3|6 1 x （2） 1) 1( 3 2 x x （3） x 1 1 1 2当x为何值时，下列分式的值为零： （1） 4 |1|5 x x （2） 56 25 2 2 xx x 3解下列不等式 （1）0 1 2| x x （2）0 32 5
6、 2 xx x （二）分式的基本性质及有关题型 1分式的基本性质： MB MA MB MA B A 2分式的变号法则： b a b a b a b a 题型一：分式化简（约分） （1） 4 32 20 16 xy yx ；（2） 44 4 2 2 xx x ; （3）在分式 xyz xyz 中， x,y,z分别扩大到 原来的两倍，则分式大小怎么变化？ 题型二：化分数系数、小数系数为整数系数 【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1） yx yx 4 1 3 1 3 2 2 1 （2） ba ba 04. 0 03.02. 0 题型三：分数的系数变号 【例 2】不改变分式的值
7、，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1） yx yx （ 2） ba a （3） b a 题型四：化简求值题 【例 3】已知：5 11 yx ，求 yxyx yxyx 2 232 的值 . 【例 4】已知：2 1 x x，求 2 21 x x的值 . 【例 5】若0)32(|1| 2 xyx，求 yx24 1 的值 . 练习： 1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1） yx yx 5.008. 0 2.003. 0 （2） ba ba 10 1 4 1 5 3 4 .0 2已知：3 1 x x ，求 1 24 2 xx x 的值 . 3已知：3 11 ba
8、 ，求 aabb baba232 的值 . 4若 01062 22 bbaa，求 ba ba 53 2 的值 . 5如果21x，试化简 x x 2 |2| x x x x| |1| 1 . （三）分式的乘除法 题型一：分式的乘法： 分式乘分式， 用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 如果得到的不是最简分式， 应该通过约分进行化简 b d a c （） 整式和分式相乘，直接把整式和分式的分子相乘作结果的分子，分母不变。 即 c a b （） 【例 1】 计算下列各分式： (1) 44 1 12 4 2 2 2 2 aa a aa a ； （2） ba ab ab ba 23 4 2 2
9、2 ； （3） 3 222 )(35 )(42 xy x x yx 题型二：分数除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. bd ac （） 【例 2】 计算下列 （1） a bc ac b 21 10 3 5 2 ；（2） yx a xy 2 8 5 12 ； 题型三：分式的混合运算：熟记分式乘除法法则 【例 3】计算： （1） 42 2 3 2 )()()( a bc ab c c ba ；（2） 2223 3 )()() 3 ( xy xy yx yx a ； 题型四：化简求值题 【例 4】先化简后求值 （1） 1 1 12 4 2 1 22 2 aaa a a a
10、 ，其中a满足0 2 aa. （2）已知3:2: yx，求 2 3 22 )()()( y x x yx yx xy yx 的值 . . （四） 、分式的加减法 题型一：同分母分数相加减：分母不变，把分子相加减。 cd abab 【例 1】 计算： （1） xy yx xy yx2)( 2 ）（ ； （2） xy yx xy yx 22 )()( . ； （3） 22 yx x 22 xy y 题型二：异分母分数相加减： 正确地找出各分式的最简公分母。 求最简公分母概括为： （通分） 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积； 分母是多项式
11、时一般需先因式分解。（ aba 32 2 ） 【例 2】通分：(1) 222 32 , 555 ab ab ba a ba ba b （2） 22 , mnnm nmmn nm 【例 3】 （1）计算： 16 24 4 3 2 xx .（2）计算 2 a ab ab （3） 3 1 x 3 1 x ; （4） 4 1 2 a 2 1 a ; 题型三：加减乘除混合运算 【例 4】计算：（ 1） 、 x x x x x x 2 4 ) 22 ( ， （2） 335 2 242 x xx 新授知识分式方程 问题 1：一艘轮船在静水中的最大航速为20 千米/ 时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米
12、所用的时间，与以最大航速逆流航行60 千米所用的时间相等，江水的流速 为多少？ 分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 做一做在方程 7 3 x =8+ 15 2 x ， 1 6 2 6 x =x， 28 1x = 8 1 x x ， x- 1 1 2 x =0 中，是分式方程的 有（） A和 B和 C和 D和 问题 2：怎么解问题 1 中的分式方程： 【主要方法】1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数. （一）
13、分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程 （1） xx 3 1 1 ； （2）0 1 3 2 xx ； （3）1 1 4 1 1 2 x x x ； （4） x x x x 4 5 3 5 【主要方法】1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数. 提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记 验根 . 题型二：求待定字母的值 【例 5】若分式方程1 2 2 x ax 的解是正数，求a的取值范围 . 练习： 1解下列方程： （1）0 21 2 1 1 x x x x ；（2） 3 4 2 3xx x ；
