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1、第二章习题解答 2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为，式中阴极板位于，阳极板位于，极间电压为。如果、横截面，求：（1）和区域内的总电荷量；（2）和区域内的总电荷量。 解 （1） （2） 2.2 一个体密度为的质子束，通过的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解 质子的质量、电量。由得 故 2.3 一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球内任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为球内的电荷体密度为故 2.4 一个半径为
2、的导体球带总电荷量为，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球面上任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为球面的上电荷面密度为故 2.5 两点电荷位于轴上处，位于轴上处，求处的电场强度。解 电荷在处产生的电场为电荷在处产生的电场为故处的电场为2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷，求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度，设半圆环的半径也为，如题2.6 图所示。解 半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为 题 2.6图在半圆环上对上式积分，得到轴线上处的电场强度为2.7 三根长度均为，均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成等边三角形。设，计
3、算三角形中心处的电场强度。解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为题2.7图则故等边三角形中心处的电场强度为2.8 点电荷位于处，另点电荷位于处，空间有没有电场强度的点？解 电荷在处产生的电场为 电荷在处产生的电场为处的电场则为。令，则有由上式两端对应分量相等，可得到 当或时，将式或式代入式，得。所以，当或时无解； 当且时，由式，有解得但不合题意，故仅在处电场强度。29 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。解 半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为 题2.10图故整个导电带电面在
4、轴上处的电场强度为而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为2.10 一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度。解 球面上的电荷面密度为当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为 细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 2.11 两个半径为、同轴的相同线圈，各有匝，相互隔开距离为，如题2.11图所示。电流以相同的方向流过这两个线圈。（1
5、）求这两个线圈中心点处的磁感应强度；（2）证明：在中点处等于零；（3）求出与之间的关系，使中点处也等于零。解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 （2）两线圈的电流在其轴线上处的磁感应强度为 题2.11图所以 故在中点处，有 （3） 令 ，有 即 故解得 题 2.12图2.12 一条扁平的直导体带，宽为，中心线与轴重合，通过的电流为。证明在第一象限内的磁感应强度为 ， 式中、和如题2.12图所示。解 将导体带划分为无数个宽度为的细条带，每一细条带的电流。由安培环路定理，可得位于处的细条带的电流在点处的磁场为则 所以 2.13 如题2.13图所示，有一个
6、电矩为的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为的电偶极子，位于矢径为的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为 题 2.13图式中，是两个平面和间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？解 电偶极子在矢径为的点上产生的电场为所以与之间的相互作用能为因为，则 又因为是两个平面和间的夹角，所以有 另一方面，利用矢量恒等式可得因此 于是得到 ()故两偶极子之间的相互作用力为 ()() 由上式可见，当时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。2.14 两平行无限长直线电流和，相距为，求每根导线单位长度受到的安培力。解 无限长直线电流产生的磁场为 直线电流每单位长度受到的安培力为 式中是由
7、电流指向电流的单位矢量。同理可得，直线电流每单位长度受到的安培力为 2.15 一根通电流的无限长直导线和一个通电流的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为题2.15图 这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解 无限长直线电流产生的磁场为圆环上的电流元受到的安培力为由题2.15图可知 所以 2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为。解 如题2.16图所示，设，则电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为题2.16 图当时，有故得到第三章习题解答3.1 真空中半径为的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷和，试计算球赤道平面上电
8、通密度的通量(如题3.1图所示)。赤道平面题3.1 图解 由点电荷和共同产生的电通密度为则球赤道平面上电通密度的通量3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为的电子云，在球心有一正电荷（是原子序数，是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为，试证明之。解 位于球心的正电荷球体内产生的电通量密度为 原子内电子云的电荷体密度为 题3. 3图电子云在原子内产生的电通量密度则为 故原子内总的电通量密度为 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为, 两圆柱面半径分别为和，轴线相距为，如题3.3图所示。求空间各部分的电场。解 由于两圆柱
9、面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为的两种电荷分布，这样在半径为的整个圆柱体内具有体密度为的均匀电荷分布，而在半径为的整个圆柱体内则具有体密度为的均匀电荷分布，如题3.3图所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在区域中，由高斯定律，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为 题3. 3图点处总的电场为 在且区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为 点处总的电场为 在的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为 点处总的电场为 3.4 半径为的球中充满密度的体电荷，已知电位移
10、分布为 其中为常数，试求电荷密度。解：由，有 故在区域 在区域 3.5 一个半径为薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为为的体电荷，球壳上又另充有电荷量。已知球内部的电场为，设球内介质为真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为（2）球体内的总电量为 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷，而且在球壳外表面上还要感应电荷，所以球壳外表面上的总电荷为2，故球壳外表面上的电荷面密度为 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为和，圆柱表面分别带有密度为和的面电荷。（1）计算各处的电位移；（2）欲使区域内，则和应
11、具有什么关系？解 （1）由高斯定理，当时，有 当时，有 ，则 当时，有 ，则 （2）令 ，则得到 3.7 计算在电场强度的电场中把带电量为的点电荷从点移到点时电场所做的功：（1）沿曲线；（2）沿连接该两点的直线。解 （1）（2）连接点到点直线方程为 即 故3.8 长度为的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场，并用核对。解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点的电位为题3.8图 （2）根据对称性，可得两个对称线电荷元在点的电场为故长为的线电荷在点的电场为由求，有3.9 已知无限长均匀线电荷的电场，试用定义式求其电位函数。其中为电位参考点。解 由于是无限长的线电荷，不能将选为无穷远点。3.10 一点电荷位于，
