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1、第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析,本章重点,一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；,重点,1.动态电路方程的建立及初 始条件的确定；,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,1. 动态电路,7.1 动态电路的方程及其初始条件,当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,特点,k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：,i = 0 , uC= Us,i = 0 , uC = 0,k未动作前，电路处于稳定状态：,电容电路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,k接通电源后很长时间
2、，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：,uL= 0, i=Us /R,i = 0 , uL = 0,k未动作前，电路处于稳定状态：,电感电路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,k未动作前，电路处于稳定状态：,uL= 0, i=Us /R,k断开瞬间,i = 0 , uL = ,工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。,注意,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,电路结构、状态发生变化,换路,应用KVL和电容的VCR得：,若以电流为变量：,2. 动态电路的方程,例,RC电路,
3、应用KVL和电感的VCR得：,若以电感电压为变量：,RL电路,一阶电路,结论,含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。,二阶电路,RLC电路,应用KVL和元件的VCR得：,含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。,一阶电路,一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。,描述动态电路的电路方程为微分方程；,动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。,二阶电路,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,结论,动态电路的分析方法,根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；,复频域分析法
4、,时域分析法,求解微分方程,本章采用,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,稳态分析和动态分析的区别,稳态,动态,t = 0与t = 0的概念,认为换路在t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,3.电路的初始条件,初始条件为 t = 0时u ，i 及其各阶导数的值。,注意,0,0,t,图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。,例,解,特征根方程：,通解：,代入初始条件得：,在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。,明确,电容的初始条件,q (0+) = q (0),uC (0+) = uC (0),电荷守恒,换路瞬间，若电容电流
5、保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,结论,电感的初始条件,L (0)= L (0),iL(0)= iL(0),磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,结论,换路定律,电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,换路定律反映了能量不能跃变。,注意,电路初始值的确定,(2)由换路定律,uC (0+) = uC (0)=8V,(1) 由0电路求 uC(0),uC(0)=8V,(3) 由0+等
6、效电路求 iC(0+),例1,求 iC(0+),电容开路,电容用电压源替代,注意,iL(0+)= iL(0) =2A,例 2,t = 0时闭合开关S ,求 uL(0+),先求,应用换路定律:,电感用电流源替代,解,电感短路,由0+等效电路求 uL(0+),注意,求初始值的步骤:,1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和iL(0)；,2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,3.画0+等效电路。,4.由0+电路求所需各变量的0+值。,b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a. 换路后的电路,（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,小结,iL(0+) = i
7、L(0) = iS,uC(0+) = uC(0) = RiS,uL(0+)= - RiS,求 iC(0+) , uL(0+),例3,解,由0电路得：,由0+电路得：,例4,求S闭合瞬间各支路电流和电感电压,解,由0电路得：,由0+电路得：,求S闭合瞬间流过它的电流值,解,确定0值,给出0等效电路,例5,7.2 一阶电路的零输入响应,换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。,1.RC电路的零输入响应,已知 uC (0)=U0,uR= Ri,零输入响应,代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0,A=U0,特征根,则,或,令 =RC , 称 为一阶电路的时间常数,电压、电流是随
8、时间按同一指数规律衰减的函数；,连续函数,跃变,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;,表明,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = RC, 大过渡过程时间长, 小过渡过程时间短,电压初值一定：,R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小,C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大,物理含义,电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为, 经过 35 , 过渡过程结束。,U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,注意,能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗
9、完毕.,设 uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,例1,图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：,分流得：,2. RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,代入初始值,A= iL(0+)= I0,特征根,连续函数,跃变,电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,表明,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关;,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,L大 W=LiL2/2 起始能量大 R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小, 大过渡过程时间长, 小过渡过程时间短,
10、物理含义,电流初值iL(0)一定：,能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕。,设 iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,iL (0+) = iL(0) = 1 A,例1,t=0时,打开开关S，求uv,。电压表量程：50V,解,例2,t=0时,开关S由12，求电感电压和电流。,解,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,小结,一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。,衰减快慢取决于时间常数,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,小结, = R C, = L/R,R为与动态元件相连的一端口电路的
11、等效电阻。,RC 电路,RL 电路,动态元件初始能量为零，由t 0电路中外加激励作用所产生的响应。,方程：,7.3 一阶电路的零状态响应,解答形式为：,1.RC电路的零状态响应,零状态响应,非齐次方程特解,齐次方程通解,非齐次线性常微分方程,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,的通解,的特解,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= US,由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,从以上式子可以得出：,电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暂态分量（自由分量）,表明,+,响应变化的快
12、慢，由时间常数RC决定； 大，充电慢， 小充电就快。,响应与外加激励成线性关系；,能量关系,电源提供能量：,电阻消耗能量：,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,表明,电容储存能量：,例,t=0时,开关S闭合，已知 uC(0)=0，求(1)电容电压和电流, (2) uC80V时的充电时间t 。,解,(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：,(2)设经过t1秒，uC80V,2. RL电路的零状态响应,已知iL(0)=0，电路方程为：,例1,t=0时,开关S打开，求t 0后iL、uL的变化规律。,解,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,例2,t=0开关S打开
13、，求t 0后iL、uL及电流源的电压。,解,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,10,5,7.4 一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,以RC电路为例，电路微分方程：,1. 全响应,全响应,解答为： uC(t) = uC + uC, = RC,uC (0)=U0,uC (0+)=A+US=U0, A=U0 - US,由初始值定A,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),2. 全响应的两种分解方式,全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),着眼于电路的两种工作状态,物理概念清晰,全响应 = 零状态响应 + 零输入响应,着眼于因果关
14、系,便于叠加计算,零输入响应,零状态响应,例1,t=0 时 ,开关S打开，求t 0后的iL、uL。,解,这是RL电路全响应问题， 有：,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,或求出稳态分量：,代入初值有：,62A,A=4,全响应：,3. 三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：,令 t = 0+,其解答一般形式为：,特解,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,注意,直流激励时：,例1,已知：t=0 时合开关，求换路后的uC(t),解,例2,t=0时 ,开关闭合，求t 0后的iL、i1、i2,解,三要素为：,三要素公式,三要素为：,0等效电路,已知：电感无初始储能t = 0 时合S1 , t =0.2s时合S2 ，求两次换路后的电感电流i(t)。,0 t 0.2s,解,例3,t 0.2s,(0 t 0.2s),( t 0.2s),
