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1、1.3,空间几何体的表面积与体积,1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 1能根据柱、锥、台的结构特征，并结合它们的展开图， 推导其表面积的计算公式，从度量的角度认识几何体 2能用类比的方法处理问题，并认识到事物之间可以相互 转化,旋转体的表面积.,(其中 r 为底面圆的半径，l 为母线长；r1 为上底面圆的半径， r2 为下底面圆的半径，l 为母线长) 注意：,(1)直棱柱和圆柱的侧面展开图是_,矩形,(2)圆锥的侧面展开图是_,扇形,续表,(3) 侧棱相等的n 棱台的侧面展开图是n 个全等的,_,等腰梯形,(4)圆台的侧面展开图是_,扇环,练习1：棱长为 1 cm 的小正方体组成如图 131
2、 的几何,36,体，那么这个几何体的表面积是_ cm2. 图 131,练习3：已知正四棱台的上底面的边长为 4 cm，下底面的 边长为8 cm，侧棱长为8 cm，则此四棱台的表面积为_,图 D17,练习4：若圆台的上、下底面半径分别是 1 和 3，它的侧面,积是两底面积和的 2 倍，则圆台的母线长为(,),C,A2,B2.5,C5,D10,解析：设母线长为 l，由(13)l2(1232)得 l5.,简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？,提示：表面积变大了,题型1,最基本几何体的运算,例1：如图 132，已知四边形 ABCD 为直角梯形，AB AD，DCAB，且边 AB，AD，DC 的长
3、分别为 7 cm，4 cm， 4 cm，分别以 AB，AD，DC 三边所在直线为旋转轴，求所得几 何体的表面积,图 132,关键是能想象出旋转后得到的是什么组合体，然,后再利用空间多面体表面积的求法解答,【变式与拓展】,1已知ABC 三边 AB，AC，BC长分别为3 cm,4 cm，5 cm， 分别以三边所在直线为旋转轴，求所得几何体的表面积,解：以 AB 所在直线为旋转轴：S4(45)36， 以 AC 所在直线为旋转轴：S3(53)24，,以 BC 所在直线为旋转轴：此时所得几何体为两个圆锥的,题型2,由三视图求几何体表面积,例2：一个几何体的三视图如图 133，求这个三棱柱的 表面积 图
4、133,利用三视图求几何体表面积的关键，是正确理 解和认识三视图中所给量与几何体中量之间的对应关系,【变式与拓展】 2已知某几何体的三视图如右图 134，则该几何体的,表面积是(,),C,图 134,题型3,几何体表面积的最值问题,例3：如图 135，圆台上、下底面半径分别为 5 cm， 10 cm，母线长为 20 cm，从母线 AB 的中点 M 拉一条细绳，围 绕圆台侧面转至下底面的点 B，求 B，M 间细绳的最短长度 图 135,自主解答：如图 D18，沿 BA 所在母线将其展开，易知最 短长度即为线段 B，M 的长度 设圆锥顶点为S，SBC 是其轴截面，则,5 SA 10 SA20,，S
5、A20 cm.,即 M，B 间细绳的最短长度为 50 cm.,图 D18,求旋转体或多面体侧面上两点间的最短距离的 思路：将其转化为平面图形，在平面图形上求出的两点间线段 的长度就是两点间的最短距离,【变式与拓展】 3圆锥底面半径为 r，母线长是底面半径的 3 倍，在底面 圆周上有一点 A，求一个动点 P 自 A 出发在侧面上绕一周到 A 点的最短路程,路程，由已知SASA3r，,r 360 SA,120，在等腰SAA中可求得 AA,3 r.,图 D19,解：如图 D19 ，扇形 SAA为圆锥 的侧面展开图，AA即为所求的最短,易错点：没有分类讨论导致漏解 例4：用一张长为 8 cm，宽为 4 cm 的矩形硬纸卷成圆柱的 侧面，求圆柱的轴截面的面积和底面积,试解：设卷成的圆柱的母线长(即高)为 h， 底面半径为 r，则,名师点评：将矩形硬纸卷成圆柱有两种不同卷法，很容易 丢解,1求台体的侧面积、底面积时，将台体补成锥体，会大大,简化运算过程,2求旋转体的表面积，要先弄清侧面展开图的形状，及侧 面展开图中各线段与原旋转体的关系是掌握它们的侧面积公式 及解有关问题的关键,
