《第十七章多元函数微分学上课讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十七章多元函数微分学上课讲义（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十七章 多元函数微分学,4 泰勒公式与极值问题,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,一、高阶偏导数,解,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,解,二 中值定理和泰勒公式,.,Taylor公式,二、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.,驻点,偏导数存在的极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,例3
2、求函数,的极值。,解,求解方程组：,得驻点,因此，驻点,因此，驻点,因此，驻点,与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，,偏导数不存在的点也可能是极值点。,例如，显然函数,不存在。,求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,解,令,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.,实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录
3、音磁带达到最佳效果，效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,2 条件极值拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,求解方程组,解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.,解,则,例5 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,即,由(2), (1)及(3), (2)得,由(2), (1)及(3), (2)得,于是，,代入条件，得,解得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，,所以，,最大值就在此点处取得。,故，最大值,最大值一定存在，,解,则,由 (1)，(2) 得,由 (1)，(3) 得,将 (5)，(6) 代入 (4)：,于是，得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，最大值一定存在，,所以，,最大值就在这个可能的极值点处取得。,故，最大值,解,则,解,可得,即,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,三 小结,作业：，,高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,中值定理和泰勒公式,四 思考判断题,
