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1、第二节刚 体 转 动,4.2 刚体转动 Rotation of a rigid body,1、刚体 Rigid Body ： 物体在外力或外力矩作用下，其组成质点之间的距离恒保持一定。 2、刚体运动 = 平动 + 转动 (1) 平动 Translation： 刚体中的所有质点都沿平行的路径运行，因而刚体中任意两点的连线始终保持与其初始位置平行。,b,c,a,物 体 作 平 动,b,c,a,物 体 作 平 动,b,c,a,物 体 作 平 动,a,b,c,物 体 作 平 动,a,b,c,物 体 作 平 动,b,c,a,物 体 作 平 动,a,b,c,物 体 作 平 动,a,b,c,物 体 作 平
2、动,a,b,c,物 体 作 平 动,(2) 转动 Rotation： 刚体中的所有质点都绕一轴线 ( 称为转轴 ) 作圆周运动。轴线可固定，也可因运动而改变方向。 (3)一般运动： 可以看成是质心平动和绕通过质心的轴转动的合成。 质心的运动和单个质点的运动完全一样，该质点的质量等于物体的质量，而它受的作用力就等于作用于该物体的外力之和。这种运动可按照第三章中所阐述的质点动力学方法来分析，因而并不涉及什么新方法。,一、定轴转动的刚体角动量,1、定轴转动：转轴相对惯性系是固定不动 2、刚体定轴转动角动量： 设刚体以角速度绕 Z 轴转动，而圆心位于 Z 轴上。 质点 Ai 速度 vi = ri vi
3、 = Ri 质点 Ai 相对于 O点的角动量： Li = mi ri vi Li = mi ri vi,平行于 Z 轴的分量： Liz= mirivi cos(/2 - i) = miri sini Ri= mi Ri2 转动物体的总角动量沿转动轴 Z 的分量： LZ = i Liz = i mi Ri2 = IZ 式中 IZ =i mi Ri2 称为物体相对于 Z轴的转动惯量， 物体越扩展，转 动惯量就越大。 物体的总角 动量 L =iLi , 一般不与转轴平行。,二、转动惯量 Moment of inertia 的计算,刚体是由大量紧密堆积的质点组成，所以转动惯量的求和可用积分式来代替，即
4、： IZ = i mi Ri2 = R2 dm 设为物体的密度，则 dm=dv，因而 IZ = R2dv = ( x2 + y2 )dv 如果物体是均匀的，则其密度恒定，因而上式可写成： IZ = R2 dv = ( x2 + y2 )dv 于是这个积分就化为一个几何因子。对于具有相同形状和大小的所有物体，这个因子相同。 IX，IY的关系式与上式相似,1、垂直轴定理 如果物体是薄片，沿Z轴的厚度可看作零因为： IX= y2 dv IY= x2 dv 所以 ： IZ = IX + IY 上式仅对于薄片才成立，称垂直轴定理。,2、平行轴定理 Steiners theorem 物体相对于两平行轴的转
5、动惯量之间有一个很简单的关系式。 设 Z 为一任意轴，ZC为一平行于 Z 且经过物体质心的轴，则： IZ = IC + md2 ( d 是二轴之间的间隔 ) 式中 IZ 和 IC 分别为该物体相对于 Z轴和 ZC轴的转动惯量，m是物体的质量。,回转半径 Radius of gyration K：,物理意义： K表示某点至转轴的距离，该点集中了物体的全部质量而又不改变物体的转动惯量 对于均匀物体而言， K由物体的几何形状所完全决定。 我们可将它列成一表，以便用来计算转动惯量。表4-1中列出若干种几何图形的回转半径的平方值。,b,a,L,R,L,b,a,b,a,R2/2,R2/4+L2/12,K2
6、,(a2+b2)/12,(a2+b2)/12,b2/12,L2/12,R,R,R,R,R2/2,R2/4,R2,2R2/3,K2,球体,圆盘,圆环,例4-2 求一均匀细棒相对于(a)垂直于棒且通过棒的一端的轴和(b)垂直于棒且通过棒中心的轴的转动惯量。,解：(a)设L为棒AB的长度，S为棒的截面，假定S非常小，dx小段的体积为dv=Sdx，由每一小段到Y轴的距离为 x，并令密度恒定，则得： IA = LO x2 Sdx =S LO x2 dx =L3S/ 3 SL为棒的体积 SL为棒的质量 故： IA= mL2/ 3,(b)计算通过质心YC 轴的转动惯量(三种方法)第一种：分段两段，每一段的质
7、量为 m/2 ，长度为L/2，它们绕YC 轴的转动惯量为,第二种：与(a)中相同， 但积分范围是从 -L/2 到 + L/2 ，我们把这 个解留给学生去完成。 第三种： 利用平行轴定理 IA= IC + md2 = IC + m( L/2)2 ( d= L/2) 得： IC = IA - m( L/2)2 = mL2/3 - mL2/4 = mL2/12,三、定轴转动的转动定律,质点系力矩与角动量的关系： M= dL /dt Z轴分量： MZ = dLZ / dt = d(IZ)/dt (1) 刚体定轴 MZ = IZ d/dt 转动定律：MZ = IZ ( 与 F= ma 相似 ) I 下标
8、省略形式： MZ = I 若物体不是刚体，但其各质点的相同，这时转动惯量是变量，必须用(1)式来分析和解决问题。 刚体通过质心非定轴转动： MC = IC ( ? ),如果刚体所受外力矩 MZ= 0，则LZ= I = 常量，即刚体对该轴的角动量保持不变。 由于刚体转动惯量 I 为常量，所以也是恒定的，即刚体以恒定角速度绕该轴转动，这可以看作是转动的惯性定律。 如果物体的转动惯量是可变的，则条件IZ=常数要求：如果 I 增加(或减少)，则就应减少(或增加)。 例如：舞蹈演员，溜冰运动员等在旋转的时候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两臂改回靠近身体使自己的转动惯量迅速减少，因而旋转速度加快。,花
9、样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速,例4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度h处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度。,解：质心定理： Mg sin - f = Ma （1） 质心转动定律： f R = IC =MK2 （2） 角量与线量关系： a = R （3） 式中K为回转半径。 （1）式 R： MgR sin - f R = MRa （4） （3）式代（2）式： f R = MK2 a / R （5）,MgR sin - f R = MRa （4） f R = MK2 a / R （5） （4）式 +（5）式 ： MgR sin = MRa +
10、MK2 a / R = MRa ( 1 + K2/R2 ) 得： a = g sin /(1 + K2/R2 ) v2 = 2aS = 2gsin/(1+K2/R2 ) h/sin = 2g h /(1+K2/R2 ),四、转动的动能和力矩作功,1、定轴转动动能 EK = i mivi 2 /2 = i mi(Ri )2 /2 = (i miRi 2 )2/2 EK = I2/2 2、力矩作功 动能定理：dA = dEK = d ( I2/2 ) = Id = I (d /dt)d = Id = MZ d dA = MZ d, 例 一质量为M长度为L的均质细杆可 绕一水平轴自由转动。开始时杆子
11、处于铅垂 状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和 杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一 起。,试求： 1. 碰撞后系统的 角速度； 2. 碰撞后杆子能 上摆的最大角度。,碰撞过程角动量守恒,得：,上摆过程机械能守恒，得：,非保守内力作正功 ，机械能增加,由角动量守恒,3、一般运动 = 质心平动 + 绕质心转动 刚体总动能：EK = MVC 2/ 2 +EKC = MVC 2/ 2 + IC2/2 ， 式中 M 是总质量，VC 是质心的速度，IC 是相对于通过质心的转动轴的转动惯量。 由于刚体运动时，刚体内质点之间的距离并不改变，内势能 Epi 保持不变。 刚体总能量：E = EK + EP
12、 = MVC 2/ 2 + IC2/2 + EP = 恒量 其中 EP 是于外力相关联的势能(这里将势能的脚标“e”去掉了)。,例如：物体受重力作用而下落时，EP= Mgh，其中 h是物体质心相对于一水平参照而的高度，用而总能量为： E = MVC 2/ 2 + IC2/2 + Mgh = 恒量,例4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度h处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度。,解：因为静摩擦力不作功， 所以总能量守恒。 起始B点： 总能量 E = Mgh 在斜面底部： E = MV2/ 2 + IC2/2 = MV 2/ 2 + MK2 V2/R2/2 = M (1 +
13、 K2 /R2 ) V2/2 式中V为质心平动速度，K为回转半径。,总能量守恒： M (1 + K2 /R2 ) V2/2 = Mgh,换句话说，球体向下滚得最快，其次是圆柱，最慢的是圆环。 重要结果：均匀物体沿着具有一定斜率的斜面无滑动滚下时，其速率与物体的质量和实际尺寸大小均无关，仅取决于物体的形状。,五、进动 Precession,把飞轮的一个轴端做成球形。放在一固定竖直杆顶的凹槽内。如果使飞轮高速地绕轴转动起来(这种旋转叫自旋)，当松手后，有趣的现象出现了，飞轮居然不再不落，反而它的轴却在水平面内以杆顶为中心转动起来。,这种高速自旋物体的转动轴绕一固定轴的转动现象叫做进动。表现这种现象的具有对称轴的物体叫回转仪。,角动量定理： M = dL/dt dL = Mdt， dL L M 作用： 改变 L 的方向， 不改变大小。 设在 dt 内，L 进动角位移 d， Ld = dL = Mdt 进动角速度 = d/dt = M/L = M/ I,俯视：,
