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1、- 1 - 【试 题总体说明】本套试卷严格按照2011 年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较 高。所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格 控制试题难度。如选择题2,4 ； （2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新 增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题 根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题3,7. （4）深入探究2011 高考试题，精选 合适的试题进行改编；如填空题9,11. （5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较 强的时代特色如填空题13 和解答题20 等； （6
2、）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整 合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。如17 题。 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. （1）复数 5 2i = + ( ) （ A）2i-（B） 21 i 55 +（ C）10 5i-（D） 105 i 33 - 【答案】 A 【解析】 55(2)5(2) 2. 2(2)(2)5 ii i iii 故选 A. （3）若数列 n a满足： 1 19a =， 1 3(*) nn aanN，则数列 n a的前 n 项和数值最大时， n 的值是 （A）6 （B）7
3、 （C）8 （D）9 - 2 - 【答案】 B 【解析】 11 3,3, nnnnn aaaaa以 19 为首项，以 -3 为公差的等差数列， 19(1)(3)223 . n ann 设前 n 项和最大，故有 1 02230 1922 ,7. 0223(1)033 n n an nnNn an 故答案为B。 （4）已知平面，直线l，若，l=，则 （A）垂直于平面的平面一定平行于平面 （B）垂直于直线l的直线一定垂直于平面 （C）垂直于平面的平面一定平行于直线l （D）垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直 【答案】 D 【解析】 A 错，如墙角的三个平面不满足；B 错，缺少条件直线应该在平面内；
4、 C错，直线 l也可能在平面内。D 正确，因l垂直平面，且l在平面 ,内，故由面面垂直的判定定理可 知命题正确。故选D。 （5）函数()sin(2)(,)fxAxA=+R的部分图象如图所示，那么(0)f=（） （A） 1 2 -（B） 3 2 - （C）1-（D）3- 【答案】 C 【解析】由图可知，(,2) 3 为函数图象的最高点，2,()2, 3 Af - 3 - 222 2 sin()2,sin()1,2() 3332 kkZ 1 2(),(0)2 sin2 sin(2)2()1. 662 kkZfk （6）执行如图所示的程序框图，输出的i值为（） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8
5、 【答案】 A 【解析】由框架图可知，当1,0is时， 1 121 121 21011;22145;ssss 31 32 2351217;ss 41 43 24173249;ss 51 54 254980129100,5.ssi故答案为A. （7）已知函数 2 ()cossinfxxx，那么下列命题中假命题 是 （） （A）( )fx既不是奇函数也不是偶函数（B）( )fx在, 0-上恰有一个零点 - 4 - （C） ( )fx 是周期函数（D） ( )fx 在(, 2 上是增函数 51 ()2 cos(sin)coscos(12 sin),(,),cos0,sin1, 262 fxxxxxx
6、xxx ()cos(12sin)0,fxxx 故 D 为真命题。故答案为B. （8）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定 圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能 是 （） （A）圆（B）椭圆 （C）双曲线的一支（D）直线 【答案】 D 【解析】如图，A 点为定圆的圆心，动点M 为定圆半径AP的中点， 故 AM=MP，此时 M 的轨迹为以A 圆心 ,半径为 AM 的圆。 如图，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，在 F1P截得 |MP|=|MA|， 1111 ,PFrM FPMM FM ArF A设 由椭圆的定义可知，M 的轨迹是以F1、A 为焦点，
7、 - 5 - 过 P点延长使 得|MP|=|MA|，则有 11 ,M FPMrM FM ArFA 由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以F1、 A 为 焦点的双曲线的右支。 若 M 落在以 A 为端点在x 轴上的射线上，也满足条件 二、填空题：本大题共6小题，每小题 5分，共 30分，把答案填在题中横线上. （9） 5 (1)x +的展开式中 2 x的系数是. （用数字作答） 【答案】5 【解析】 5 5 2 155 5 ()1,= 21, 2 r rrrr r r TCxC xr令， 2 x的系数为 1 5 5.C - 6 - （10）若实数,x y满足 40, 20, 250, xy xy x
8、y +-? ? ? ? - ? ? +-? ? ? 则2zxy=+的最大值为. 【答案】7 【解析】根据不等式组画出可行域，如图所示为三角形， 目标函数 1 2, 22 z zxyyx 要是目标函数取得最大值，即直线的截距最大， 【解 析】由已知可得： 2 1 1,4.4. 4 aaxy由抛物线的定义可知A 点到焦点距离为A 到准 线的距离： 15 1. 244 A p y （12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C）用茎叶图记录如下，根据茎 叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_，气温波动较大的城市是 _. - 7 - 【解析】设直线方程为(1),yk x即0,kxyk圆心到
9、直线的距离为 2 , 1 kk k 因直 为 .8, 3 说明： “三棱柱绕直线O O旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，O A旋 甲城市乙城市 9 0 8 7 73 1247 220 4 7 - 8 - 转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，O A旋转所成的角为负角. 【答案】8；. 3 【解析】由题意可知，要使得俯视图最大，需当三棱锥柱的一个侧面在水平平面内时，此时 俯 视 图 面 积 最 大 ， 如 图 所 示 ， 俯 视 图 为 矩 形AA C C， 且3 ,4 ,B DA A则 AC3tan 3022,故面积最大为248. 当棱柱在水平面内滚动时，因三角形ABC 为正三
10、角形，当绕着O O旋转60后其中一个侧面恰好在水平面，其俯视图的面积也正 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a ，b， c ，2AB， 3 sin 3 B. （）求cos A及sin C的值； （）若2b =，求ABC的面积 . 【命题分析】本题考查解三角形、二倍角公式和正弦定理等内容，考查学生的转化能力和计 算能力，第一问中利用二倍角公式和两角和正弦公式进行求解；第二问中利用正弦定理和三 角形面积公式求解。 解： （）因为2AB， 所以 2 coscos 212 sinABB=-. ,2 分 因为 3 sin 3 B， 所以 11 cos12 33 A =-?. ,3 分 - 9 - 所
11、以 46 3 a =. ,11 分 所以 1202 sin 29 ABC SabC=. ,13 分 (16) （本小题满分13 分） 为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主 办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方 式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望. 【命题分析】本题考查随机事件的概率和期望，考查学生的分析问题能力和计算能力。结合 排列知识和随机事件的概率公式进行求解.
12、 解： （）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，则 23!1 5!10 PA. ,4 分 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 1 10 . ,5 分 （）随机变量X的可能取值为0, 1, 2, 3. ,6 分 - 10 - 24 !2 0 5!5 PX， 323!3 1 5!10 PX， 22 !32 !1 2 5!5 PX， 23!1 3 5!10 PX. ,10 分 随机变量X的分布列为： X 0 12 3 P2 5 3 10 1 5 1 10 因为 2311 01231 510510 EX， 所以随机变量 X的数学期望为1. ,13 分 (17) （本小题满分14 分） （
13、）证明：因为90ABC?， 所以ABBC. ,1 分 因为平面PBC 平面ABC D，平面 PBC平面ABC DBC=， AB 平面ABC D， 所以AB 平面PBC.,3 分 （）解：取BC的中点O，连接PO. 因为PBPC=， 所以POBC. 因为平面PBC 平面ABC D，平面 PBC平面ABC DBC=，PO 平面PBC， - 11 - 所以PO 平面ABC D. ,4 分 如图，以O为原点，OB所在的直线为x 轴，在平面ABC D内过O垂直于BC的直 线为y轴，O P所在的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz不妨设2BC =. 由 直角梯形ABC D中2ABPBPCBCC D=可得(
14、0, 0,3 )P，(1,1, 0)D -， (1,2, 0)A . 所以(1,1,3 )D P =-，(2,1, 0)D A =. 设平面PAD的法向量(,)=x y zm. 因为 0, 0. D P D A ? ? ? ? ? ? ? m m 所以 (,) (1,1,3)0, (,) (2,1, 0)0, x y z x y z ? ?= ? ? ? ? ? 即 30, 20. xyz xy ? -+= ? ? += ? ? 令1x =，则2,3yz= -= -. 所以(1,2,3)=-m. ,7 分 取平面BC P的一个法向量n0,1, 0 . 所以 2 cos, 2 m n m n m
15、 n . 所以平面AD P和平面BCP所成的二面角（小于90 ）的大小为 4 . ,9 分 （）解：在棱PB上存在点M使得C M平面PAD，此时 1 2 PM PB =. 理由如 - 12 - 下：,10 分 取AB的中点N，连接C M，CN，M N. 则M NPA， 1 2 ANAB=. 因为2ABC D=， 所以ANC D=. 因为ABC D， 所以四边形AN C D是平行四边形 . 所以C NAD. 因为,MNCNNPAADA=， 所以平面M N C平面PAD. ,13 分 因为C M 平面M N C， 所以C M平面PAD.,14 分 (18) （本小题满分13 分） 已知函数 2 ()e () x fxxaxa，其中 a 是常数 . ( ) 当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1)f处的切线方程； （）若存在实数
