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1、二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练一、知识准备: 抛物线与直线形的结合表形式之一是,以抛物线为载体,探讨是否存在一些点,使其能构成某些特殊四边形,有以下常风的基本形式(1)抛物线上的点能否构成平行四边形(2)抛物线上的点能否构成矩形,菱形,正方形特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础,而待定系数法,数形结合,分类讨论是解决这类问题的关键。二、例题精析【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、(2013河南)如图,抛物线与直线交于两点,其中点在轴上,点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点,过点作轴于点,交于点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点的横坐标为,当为何值时,以为顶点的四边形是平
2、行四边形?请说明理由。【解答】(1)直线经过点, 抛物线经过点, 抛物线的解析式为(2)点的横坐标为且在抛物线上 ,当时,以为顶点的四边形是平行四边形 当时,解得:即当或时,四边形是平行四边形 当时,解得:(舍去)即当时,四边形是平行四边形练习1:(2013盘锦)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(1,0)、B(3,0),与y轴相交于点C,点P为线段OB上的动点(不与O、B重合),过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F,点D在y轴正半轴上,OD=2,连接DE、OF(1)求抛物线的解析式;(2)当四边形ODEF是平行四边形时,求点P的坐标;考点:二次函数综合题分析
3、:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)平行四边形的对边相等,因此EF=OD=2,据此列方程求出点P的坐标;解答:解:(1)点A(1,0)、B(3,0)在抛物线y=ax2+bx+3上,解得a=1,b=2,抛物线的解析式为:y=x2+2x+3(2)在抛物线解析式y=x2+2x+3中,令x=0,得y=3,C(0,3)设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(3,0),C(0,3)坐标代入得:,解得k=1,b=3,y=x+3设E点坐标为(x,x2+2x+3),则P(x,0),F(x,x+3),EF=yEyF=x2+2x+3(x+3)=x2+3x四边形ODEF是平行四边形,EF=OD=2,x2+
4、3x=2,即x23x+2=0,解得x=1或x=2,P点坐标为(1,0)或(2,0)点评:本题是二次函数的综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点第(3)问中,特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质,只要求出其对称中心的坐标,即可利用待定系数法求出所求直线的解析式练习2:已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式;(2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标;AABBOOxxyy图图(3)连接OA、AB,如图,在x轴下方的抛物线上
5、是否存在点P,使得OBP与OAB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。练习3:(本题满分12分)如图,抛物线与轴交于点C,与轴交于A、B两点,(1)求点B的坐标;(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;(3)设点E在轴上,点F在抛物线上,如果A、C、E、F构成平行四边形,请写出点E的坐标(不必书写计算过程)CABOyx答案:24、解:(1) C (0,3) 1分又tanOCA=A(1,0)1分又SABC=6AB=4 1分B(,0)1分(2)把A(1,0)、B(,0)代入得: 1分,2分 顶点坐标(,)1分(3)AC为平行四边形的一边时 E1析(,0) 1分 E2(,0)1分 E3(,0)
6、1分AC为平行四边形的对角线时 E4(3,0)1分练习4:(2011南宁)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求ABM的面积(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由考点:二次函数综合题;解一元二次方程因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四
7、边形的判定.专题:压轴题;存在型分析:(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:把A(3,0)B(0,3)分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b,得到关于m、n的两个方程组,解方程组即可;(2)设点P的坐标是(t,t3),则M(t,t22t3),用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长,即PM=(t3)(t22t3)=t2+3t,然后根据二次函数的最值得到当t=时,PM最长为=,再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+SAPM计算即可;(3)由PMOB,根据平行四边形的判定得到当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论:当P在第四象限:PM=OB=3,PM最长
8、时只有,所以不可能;当P在第一象限:PM=OB=3,(t22t3)(t3)=3;当P在第三象限:PM=OB=3,t23t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值解答:解:(1)把A(3,0)B(0,3)代入y=x2+mx+n,得解得,所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线AB的解析式是y=kx+b,把A(3,0)B(0,3)代入y=kx+b,得,解得,所以直线AB的解析式是y=x3;(2)设点P的坐标是(t,t3),则M(t,t22t3),因为p在第四象限,所以PM=(t3)(t22t3)=t2+3t,当t=时,二次函数的最大值,即PM最长值为=,则SABM=SBPM+SAPM=(3
9、)存在,理由如下:PMOB,当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,当P在第四象限:PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能有PM=3当P在第一象限:PM=OB=3,(t22t3)(t3)=3,解得t1=,t2=(舍去),所以P点的横坐标是;当P在第三象限:PM=OB=3,t23t=3,解得t1=(舍去),t2=,所以P点的横坐标是所以P点的横坐标是或【抛物线上的点能否构成矩形,菱形,正方形】三、形成提升训练(下面两题难度较大)1、(2007义乌市)如图,抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2(1) 求A、B 两点的坐
10、标及直线AC的函数表达式;(2) P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、 C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由 A2、如图,抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.xyAOCB(第26题图)解析:解:(1)设
11、抛物线的解析式为 , xyAOCB(第26题图)PNMH 根据题意,得,解得抛物线的解析式为: (3分)(2)由题意知,点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P,则P点 即为所求.设直线BC的解析式为,由题意,得解得 直线BC的解析式为 (6分)抛物线的对称轴是,当时,点P的坐标是. (7分)(3)存在 (8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时,如图所示,四边形ACNM是平行四边形,CNx轴,点C与点N关于对称轴x=2对称,C点的坐标为,点N的坐标为 (11分)(II)当存在的点在x轴上方时,如图所示,作轴于点H,四边形是平行四边形,,RtCAO Rt,.点C的坐标为,即N点的纵坐标为,即解得点的坐标为和.综上所述,满足题目条件的点N共有三个,分别为, (13分)3、(2007河南)如图,对称轴为直线的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)(1)求抛物线解析式及顶点坐标;(2)设点E(,)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由