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1、二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式（1）抛物线上的点能否构成平行四边形（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。二、例题精析【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、（2013河南）如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平
2、行四边形？请说明理由。【解答】（1）直线经过点, 抛物线经过点， 抛物线的解析式为（2）点的横坐标为且在抛物线上 ，当时，以为顶点的四边形是平行四边形 当时，解得：即当或时，四边形是平行四边形 当时，解得：（舍去）即当时，四边形是平行四边形练习1：（2013盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；考点：二次函数综合题分析
3、：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；解答：解：（1）点A（1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，解得a=1，b=2，抛物线的解析式为：y=x2+2x+3（2）在抛物线解析式y=x2+2x+3中，令x=0，得y=3，C（0，3）设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得k=1，b=3，y=x+3设E点坐标为（x，x2+2x+3），则P（x，0），F（x，x+3），EF=yEyF=x2+2x+3（x+3）=x2+3x四边形ODEF是平行四边形，EF=OD=2，x2+
4、3x=2，即x23x+2=0，解得x=1或x=2，P点坐标为（1，0）或（2，0）点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析式练习2：已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；AABBOOxxyy图图(3)连接OA、AB，如图，在x轴下方的抛物线上
5、是否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。练习3:（本题满分12分）如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A、B两点，（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E在轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）CABOyx答案：24、解：（1） C (0,3) 1分又tanOCA=A（1，0）1分又SABC=6AB=4 1分B（，0）1分（2）把A（1，0）、B（，0）代入得： 1分，2分 顶点坐标（，）1分（3）AC为平行四边形的一边时 E1析(，0) 1分 E2（，0）1分 E3（，0）
6、1分AC为平行四边形的对角线时 E4（3，0）1分练习4:（2011南宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求ABM的面积（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四
7、边形的判定.专题：压轴题；存在型分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t3），则M（t，t22t3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+SAPM计算即可；（3）由PMOB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长
8、时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值解答：解：（1）把A（3，0）B（0，3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x3；（2）设点P的坐标是（t，t3），则M（t，t22t3），因为p在第四象限，所以PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，当t=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则SABM=SBPM+SAPM=（3
9、）存在，理由如下：PMOB，当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3当P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；当P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是所以P点的横坐标是或【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】三、形成提升训练（下面两题难度较大）1、（2007义乌市）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1） 求A、B 两点的坐
10、标及直线AC的函数表达式；（2） P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、 C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由 A2、如图，抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.xyAOCB（第26题图）解析：解：（1）设
11、抛物线的解析式为 ， xyAOCB（第26题图）PNMH 根据题意，得，解得抛物线的解析式为： (3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.设直线BC的解析式为，由题意，得解得 直线BC的解析式为 (6分)抛物线的对称轴是，当时，点P的坐标是. (7分)（3）存在 (8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，四边形ACNM是平行四边形，CNx轴，点C与点N关于对称轴x=2对称，C点的坐标为，点N的坐标为 (11分)（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，四边形是平行四边形，,RtCAO Rt,.点C的坐标为,即N点的纵坐标为，即解得点的坐标为和.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为， (13分)3、（2007河南）如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由
