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1、第7章 衍生证券的定价,本章结构,金融期权的定价 金融远期的定价（教材无，补充内容）,前面章节我们介绍确定收入证券和不确定收入证券是如何定价的。 比如，某股票（不确定收入证券）期末实际可能的收益为12、8，概率分别为1/2、1/2，则期0投资在期1的收益为10元。若该股票贝塔系数为0.6，无风险证券的回报率为10%，市场组合的期望回报率为17%。得出该股票的合理价格为： 股票（借贷凭证）的买方（贷货币者，股票的持有者）现在向卖方（借货币者）付出8.76，未来得到可能的12或8收益。股票和债券的价格是这样确定的。,以上对应即期的（现在的）货币借贷，还有未来的货币借贷： （1）金融远期合约（对应未
2、来的国债、企业债、股票买卖） （2）金融期权合约（对应未来买卖国债、企业债、股票的权力）,7.1 有关期权的一些概念,1、金融期权是什么？ 金融期权：一种赋予某人（金融期权的买方、金融期权的持有者）向另一个人（金融期权的卖方）在某指定日期或该日期之前任何时间以固定价格买进或卖出单位数量某种金融资产（称为标的资产）之权利的合约。标的资产可以股票和债券。 分为： (1)买进期权（看涨期权）：期权合约赋予期权的买方向卖方买进标的资产的权利。 (2)卖出期权（看跌期权） ：期权合约赋予期权的买方向卖方卖出标的资产的权利。 不管是哪种期权，期权的买方要向期权的卖方支付权利金，这就是期权本身的价格。,2、
3、金融期权要素,金融期权要素： (1)买进或卖出的权利：期权合约赋予买方向卖方购进或售出标的资产的权利，即买方可向卖方执行期权。 (2)执行价格：持有人据以购进或售出标的资产的期权合约之固定价格称为执行价格。 (3)到期日：期权到期的那一天称为到期日。在那一天之后，期权失效。 (4)美式期权和欧式期权：美式期权可以在到期日或到期日之前的任何时间执行。欧式期权只能在到期日执行。本章只分析欧式期权。,例子：微软公司股票的期权价格信息,看涨期权到期日 看跌期权到期 微软股价 执行价格 七月 十月. 七月 十月. 90 3/8 859 3/4 10 1/4 3 1/2 - 90 3/8 954 3/4
4、- 8 8 1/2,3、欧式看涨期权的到期日收益,标的资产在到期日的价值 ST,看涨期权在到期日的收益,0,85,假如执行价格K=85,ST - K,此为看涨期权买方到期日收益，而卖方收益是其负值,欧式看跌期权的到期日收益,标的资产在到期日的价值ST,看跌期权 在到期日的收益,0,85,85,假如执行价格K=85,K- ST,此为看跌期权买方到期日收益，而卖方头寸收益是其负值,4、欧式期权价格,欧式期权价格就是期权买方为了在期权到期日获得收益而愿意现在向期权卖方支付的资金。,7.2 影响欧式期权价格的因素,期权的价格与收益的对应： 注：时刻1期权到期。,t=0,T=1,价格c,价格p,收益Ma
5、x（ST -K，0）,收益Max（K ST，0）,看涨期权,看跌期权,St,ST,标的资产价格,（1）标的资产的市场价格S0 对于看涨期权而言，标的资产现在的价格越高，看涨期权的价格就越高。 对于看跌期权而言，标的资产现在的价格越低，看跌期权的价格就越高。 （2）期权的执行价格K 对于看涨期权而言，执行价格越低，看涨期权的价格就越高。 对于看跌期权而言，执行价格越高，看跌期权的价格就越高。,（3）期权的有效期T 有效期越长，买方获利机会就越大，因此有效期越长，期权价格越高。 （4）标的资产价格的波动率 标的资产价格的波动率，或者说分布的方差，显示标的资产未来价格的不确定性，见图7-4。由于期权
6、多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与执行价格的差额，因此波动率越大，对期权买方越有利，期权价格也越高。,（5）无风险利率rf 无风险利率提高，给定标的资产现在的现货价格不变，则标的资产的期望回报率提高，未来预期的现货价格也随之提高。看涨期权若被执行，收益增加；看跌期权若被执行，收益减少。 同时由于无风险利率提高，期权被执行后的收益的现值下降。 两方面共同的作用导出，无风险利率提高，看跌期权的价值下降；而对看涨期权价值的影响不确定。,7.8 欧式期权的二项定价模型,1、先讨论看涨期权的定价，以股票看涨期权为例。 问题： 与期权相对应的股票在时间0的价格
7、为每股20元，在时间1的时候有可能上升到24元或下跌到13.4元。该期间无风险证券的回报率为10%。 那么，在这些条件下，一个时间1到期、执行价格为21元的看涨期权，在时间0的价格是多少呢？,符号表示：股票现货价格在时间1服从二项分布 S0 =时间0时股票的价格，如20； 将 区分为u和d： u=时间1股票价格上升相对时间0的幅度(%)，如120%； d=时间1股票价格下跌相对时间0的幅度(%)，如67%； q=股票价格上升的概率（但在定价中用不到）。 给出无风险证券的回报率，记为rf ，如10%；,K=以一单位股票为标的的期权的执行价格，如21； 时间1看涨期权的收益，区分为： =股价上升时
8、看涨期权的收益（为0与uS0 -K两者之间的较大者），如3； =股价下跌时看涨期权的收益（为0与dS0-K两者之间的较大者），如0； c =看涨期权现在的价格； 看涨期权的投资回报图如下,该证券组合是一个无风险套期保值组合。组合在时间1时的收益在不同状态下都相等，组合是无风险的，回报率就是无风险证券的回报率(本例为10%) ，因此(20-3.53c)(1+10%)=13.4，得到c=2.2126。 一般情况是怎样的呢？为什么是 3.53份？,分析：在期0时候构造证券组合,要求该证券组合是一个无风险套期保值组合，则 uS0 - mcu =dS0 -mcd ，也就是说，m必须等于m=S0 (u-d
9、)/(cu-cd)。m被称为套期保值比率。 这样，该证券组合的回报率就是无风险证券的回报率了，即 (S0-mc) (1+ rf ) = uS0 - mcu 。,由此得到：把套期保值比率m代入得到看涨期权的定价公式。 如果我们令： 则上式可简化为： (7.24) 其中，p为大于0小于1的数,被称为套期保值概率。,可见，欧式看涨期权的价格c等于到期日的收益用套期保值概率求期望后按无风险利率进行贴现后的现值。应用于上例中，我们有 因此，该期权的价格为：,请思考： 如何求欧式看跌期权的价格？,2、欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系,考虑如下组合：买一单位标的资产，买一份该资产的欧式看跌期权，卖一份该
10、资产的欧式看涨期权，有效期T和执行价格K都与看跌期权相同。到了期权的到期日，分情况： 当ST K，则组合的价值为： ST +0-(ST - k)=K; 不管哪种情况发生，组合的价值均为K，因此，组合是无风险的，组合现在的价值为K/(1+rf )，也就是说S0 +p0-c0= K/(1+rf ) ，这就是p0与c0的平价关系。,问题： 与期权相对应的股票在时间0的价格为每股20元，在时间1的时候有可能上升到24元或下跌到13.4元。该期间无风险证券的回报率为10%。那么，一个时间1到期、执行价格为21元的看跌期权，在时间0的价格是多少呢？ 前面已经求出时间1到期、执行价格为21元的同资产的看涨期
11、权的价格为2.2126。因此，看跌期权价格 p0 = c0 +K/(1+rf )- S0 =2.2126+21/(1+0.1)-20=1.3035,3、期权二项定价模型及其局限性,上述定价中，假设了与期权相对应的股票现货价格在时间1服从二项分布，即股票在时间1的时候有可能从时间0的每股20元上升到24元或下跌到13.4元。这就是期权的二项定价模型的由来。 但实际上，股票在时间1的价格可能不止两种可能。 不过，如果股票在时间1的价格有更多种可能的话，推广一下二项定价模型就可以了。比如，图7-12、7-13是股票在时间1的价格有三种可能情形对其看涨期权的分析，把时间0到时间1等分为2个小的时间区间
12、，每个区间用二项定价模型解。,期权的Black-Sholes定价模型与二项定价模型的关系,如此下去，把时间0到时间1等分为n个小的时间区间，每个区间用二项定价模型解，这样用拓展后的二项定价模型求期权的价格（n=2 的情形如图7-12，7-13所示）。 n趋于无穷时的二项定价模型与下面的期权的Black-Sholes定价模型一致，适用于在时间1股票期权到期的时候股票现货的价格有无穷多种可能的情形。,其中，是现货价格的波动率，rf 是连续复利表示的无风险证券回报率，T是期权到期时间。 N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即标准正态分布变量小于x的概率，比如N(1)=0.8335, N(0
13、)= 0.5）。,x,例如,某股票现在的价格为20元，价格的年波动率为20.33%，无风险证券的年回报率为9.531%，那么一个1年后到期、执行价格为21元的看涨期权，现在的价格是多少呢？,7.10 远期合约的定价,1、金融远期合约是什么？ 金融远期合约是指交易双方约定在未来某一日期、以约定价格买卖单位数量的标的金融资产的合约。标的资产可以股票和债券。这个约定价格就是我们要求的金融远期的价格。,例子：债券远期合约交易情况,2、衍生证券定价模型的思想,期权定价模型的思想 构造包含有期权合约的无风险套期保值组合，由于是无风险的，它和无风险证券是一样的，它的回报率就等于无风险证券的回报率，我们可根据
14、这样的关系求出期权的价格。 用类似的方法给远期和期货合约定价。基本思路为：构建两个证券组合，让它们在时间1是一样的，则它们在时间0的价格相等（否则可以套利）。在构造的其中一个组合中包含有远期合约，我们就可根据两个组合在时间0的价格相等的关系求出远期价格。,符号表示： S为标的资产的现货价格。 F是远期价格。 无风险证券的回报率记为rf 。,t=0,T=1,S0,S1,F,3、远期定价模型,为给远期合约定价，在时间0的时候构建如下两个组合： 组合A：处于一份时间1到期的远期合约的买方，以及一笔数额为F/(1+rf) 的现金； 组合B：一单位标的资产。 在组合A中， F/(1+rf)的现金以无风险利率投资。到时间1，其金额将达到F。这是因为： F/(1+ rf) (1+ rf) =F。,在时间1，组合A中的远期合约到期，而现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在时间1 ，两种组合都等于一单位标的资产。由此我们可以断定，这两种组合在时间0的价格相等。即： F/(1+rf) =S0 F= S0(1+rf) 上式表明，远期价格等于其标的资产现货价格以无风险回报率投资在时间1的价值。,例题： 在时间0，某零息债券的价格为90.8元，该债券的远期合约在时间1到期，无风险证券的回报率为5%，求该债券的远期价格？ F=90.8(1+ 5%)=95.3,课后练习本章PPT的例题。,
