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1、第6章 离散时间体统z域分析,6.1 Z变换 6.2 Z变换的性质 6.3 信号的Z变换求法 6.4 反Z变换 6.5 离散时间系统的Z变换分析法 6.6 数字滤波器的概念,6.1 Z变换,6.1.1 Z变换的定义 一般来说，常把具有单位响应h(n)的离散时间非时变系统的双边Z变换（简称Z变换）定义为,(61),而对信号x(n)的双边Z变换定义为,(62),正像有双边和单边拉普拉斯变换一样，Z变换也分为单边Z变换和双边Z变换。（62）式所示的是双边Z变换，而单边Z变换定义为,(63),例61 已知x(n)=u(n)求其Z变换表达式。 解 由（62）式可知：,(64),由等比数列求和的性质可知，
2、（64）式的级数在 |z-1|1时是发散的，只有在|z-1|1时才收敛。这时无 穷级数可以用封闭形式表示为,(65),为满足上述绝对可和的条件，就必须要对|z|有一定范围的限制。这个范围一般可表示为 由此可见Z变换的收敛域为z平面上是一个以Rx-及Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，如图6.1所示。,(67),图6.1 环形收敛域,2. 序列x(n)的特性与X(z)的收敛域 由（66）式很容易知道X(z)的收敛域不仅与|z|有关，还与序列x(n)的特性有关。为说明二者之间的关系根据序列的不同分四种情况讨论。 1) 有限长序列,(1) n10,n20时，有,上式中除了第一项的z=处及第二项中的
3、z=0处 外都收敛，所以总收敛域为0|z|。有时将这个 开域(0,)称为“有限z平面”。,(2)n10,n20时，有 显然其收敛域为0|z|，是包括零点的半开域，即除z=外都收敛。 (3)n10,n20时，有 显然其收敛域为0|z|，是包括z=的半开域，即除z=0外都收敛。,(4)特殊情况，n1=n2=0时，这就是序列 ，它的收敛域为整个闭域z平面，即0|z|。 2) 右边序列,的Z变换为,(1) n10时，这时的右边序列就是因果序列。,因此，n10时的右边序列的收敛域可以写成|z1| |z|，如图（6.2）所示。 (2) n10时，Z变换为,图6.2 右边序列收敛域,例62求指数序列x(n)
4、=anu(n)的Z变换。 解 显然指数序列是一个因果序列,3) 左边序列,图6.3 指数序列收敛域,图6.4 左边序列收敛域,例63 求左边序列x(n)=-bnu(-n-1)(b1)的Z变换。 解 由信号的Z变换的定义可知,若公比|b-1 z|1，即|z|b|时此级数收敛。此时,图6.5 收敛域零、极点分布,4. 双边序列 当n，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列，它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此序列进行Z变换得到,6.1.3 Z变换与拉普拉斯变换的关系 如果信号x(n)是与连续时间信号xc(t)的理想取样函数xp(t)对应的序列，那么x(n)的Z变换X(z)，可以由
5、该理想取样函数xp(t)的拉氏变换式导出。连续时间信号xc(t)被理想取样后的函数xp(t)可表示为 其中xc(nT)为连续时间函数xc(t)在t=nT时刻的值是一个离散时间序列，记为x(n)。取样函数xp(t)的拉氏变换为,(68),(69),(610),图6.6 s平面与z平面的对应关系,为了更清楚地表达这个映射关系，将s写成直角坐标的形式：s=+j，而将z写成极坐标的形式z=rej。这样将s平面变换到z平面后就可以写成,(611),6.2 Z变换的性质,6.2.1 线性特性 设x1(n)X1(z)其收敛域为A，x2(n)X2(z),其收敛域为B，则有ax1(n)+bx2(n)aX1(z)
6、+bX2(z)其收敛域为AB（这里a,b为常数）。这一关系显然是和拉普拉斯变换的同一特性相对应，为了避免不必要的重复，它的证明从略。,6.2.2 移序特性 若x(n)X(z)的收敛域为A，则x(n-n0)z-n0 X(z)的收敛域也为A，但在零点和无穷远点可能发生变化。,例64 求信号x(n)=u(n+1)的Z变换及其收敛域。 解 因为u(n) 利用Z变换的移序特性，有 因为u(n)是一个因 果序列，而u(n+1)是非因果序列，所以它的收敛域在无穷远处发生了变化，即删除原有的无穷远点，u(n+1)的Z变换的收敛域为1|z|。,6.2.3 频移特性 若x(n)X(z),则e jnx(n)X(e-
7、jz)。 证明： 设 e jn x(n)的Z变换为F（z），则有 上述特性表明，信号在时域内乘以复指数信号 ejn，相当于在z平面作一旋转，即全部零、极点的位置旋转一个角度。为更好地说明这个问题，请看下面的例子。,例65求信号x(n)=sin(n)u(n)的Z变换及其收敛域。 解 由于,因此,图6.7 收敛域及零、极点图,6.2.4 尺度变换特性 若x(n)X(z)的收敛域为R, 且收敛域为|a|R。 证明：,令 ，则它的Z变换,所以,6.2.5 z域微分特性 若x(n)X(z),收敛域为R，则nx(n) 收敛域为R。 证明 设序列y(n)=nx(n),则它的Z变换,例66 已知x(n)=nu
8、(n),求其Z变换及其收敛域。 解 由例61可知，u(n)的Z变换 并由z域微分特性可知，,其收敛域为|z|1。,6.2.6 卷积特性 若x1(n)X1(z),x2(n)X2(z),其收敛域分别为A、B，则x1(n)*x2(n)X1(z)X2(z)，其收敛域为AB。 证明 设x1(n)*x2(n)的Z变换是X(z)，则,例67如果x1(n)=u(n)， 且y(n)=x1(n)*x2(n)，求y(n)的Z变换Y(z)。 解 先分别求x1(n),x2(n)的Z变换X1(z),X2(z):,收敛域为|z|1,收敛域为|z|,收敛域为|z|,例68已知 ,求u(n)*u(n)。 解令y(n)=u(n)
9、*u(n)，则它的Z变换为,由例66可知,由例61可知,所以,而,所以,6.2.7 时域反转特性 例69已知x(n)=u(-n)，求其Z变换及其收敛域。 解 由例61可知u(n)的Z变换,由时间反转特性可知，,6.2.8 时域求和特性 若x(n)X(z)的收敛域为R，则 ,其收敛域为R(|z|1)。 证明 因为,6.2.9 初值定理 如果因果序列x(n)的Z变换为X(z)，而且 存在，则 证明 当z时，在上式级数中除第一项x0外，其它各项都趋于零，所以,故有 由此递推，得到一般式,(612),例610 已知 ，求y0,y1,y2。 解,6.2.10 终值定理 若因果序列x(n)的Z变换为X(z
10、)，而且X(z)的极点除了在z=1处允许有一阶极点外，其余极点均在单位圆内，则 证明 设y(n)=x(n+1)-x(n)，由于x(n)为因果序列，于是y(n)的Z变换,两边同时对z1取极限有,因为X(z)的极点除了在z=1处允许有一阶极点外，其余极点均在单位圆内，而且x(n)又是因果序列，因而y(n)=x(n+1)-x(n)的Z变换Y(z)的收敛域是最外部极点的外部，一定包括z=1，因此，求极限可以与求和来交换运算次序，这样就有：,表61 Z变换的性质及定理,6.3 信号的Z变换求法,6.3.1 常用信号的Z变换 为了便于Z变换及其反变换的计算，把一些常用信号的Z变换列于表62中。对于这些信号
11、的Z变换，可以直接由定义计算，也可以根据一些常用信号的Z变换，再应用Z变换的性质获得。下面就用后一种方法讨论表62中的部分信号的Z变换。,表62 Z变换表,6.3.2 求序列Z变换的方法 求序列的Z变换常用的方法有三种： (1)利用Z变换的定义直接求解序列的Z变换； (2)借助Z变换性质从已知变换推导出未知的Z变换； (3)利用幂级数展开的方法求Z变换。 下面分别举例说明。,例611 求下列序列的Z变换，并表明收敛域，画出零、极点图：,解 (1)已知序列 ，Z变换为 当 时，级数收敛于,图 6.8,（2）已知 则其双边Z变换为 当|z| 时，级数收敛于,（3）已知 则其Z变换,|z|0时，级数
12、收敛于,图 6.9,（4）已知， 则双边Z变换为,图 6.10,例612求序列x(n)=cosncosnu(n)的Z变换。 解 利用欧拉公式将x(n)化为指数函数：,例613 证明下列Z变换式（n0）:,常数,常数,例614 已知序列x(k)的Z变换为X(z)，若将x(k)由k=0到k=n的各项进行求和，给出新序列 （1）求g(n)的Z变换G(z); （2）若令x(k)=k2，求g(n)及G(z)。,6.4 反Z变换,6.4.1 幂级数展开法（长除法） 因为x(n)的Z变换定义为z-1的幂级数，,一般而言，对于因果序列f(n)的单边Z变换F(z)即为,把它与Z变换的定义式（62）比较可以看出：
13、,例615求 的逆变换x(n)（收敛域为|z|1）。 解 由于X(z)的收敛域为|z|1，因而x(n)必然是因果序列。此时X(z)按照z的降幂排列形成下列形式：,例616 设有Z变换式 ，试用幂级数展开法进行反Z变换。这里的f(k)为有始序列。 解 要用展开F(z)为幂级数的方法求f(k)，为此将F(z)进行长除：,例617 求收敛域分别为|z|1和|z|1两种情况下， 的逆变换x(n)。 解 对收敛域|z|1，X(z)相应的序列x(n)是因果序列，这时X(z)写成 ,进行长除，展开成级数 这样得到x(n)=(3n+1)u(n)。,6.4.2 部分分式法 当F(z)有n个单阶极点a1,a2,a
14、n时，则 展开为,再在等式两边同时乘以z，可得,最后，利用表62中的第(1)号和第(3)号公式，即可得 原序列,例618 设有Z变换式 ，试用部分分式展开法进行反Z变换。这里的f(k)为有始序列。 解 把 展开为 再在等式两边同时乘以z，可得,因为这里的f(k)为有始序列，所以其收敛域为 |z|1和|z|0.5的公共部分即|z|1。 由表62中的第(1)号和第(4)号公式：,所以，当|z|1时,例619求 的逆变换x(n)，其中|z|1。 解 把 展开为,再在等式两边同时乘以z，可得,因为|z|1，由表62中的第(1)号和第(4)号公式：,例620 已知一有始序列y(n)的Z变换为 ，求y(n
15、)。 解 由于 很难一下子求 出其部分分式，通常采用与拉普拉斯反变换一样的待定系数法将上式化为三个分式的和的形式。,与上例相同的分析可以得到,如果利用长除法求反Z变换可得,6.4.3 留数法 反Z变换也可以像拉普拉斯反变换那样利用留数定理来计算，即 其中C是包围F(z)zk-1的所有极点的闭合积分路径，它通常是在z平面的收敛域内以原点为中心的一个圆。为证明此式，只要把式中积分函数中的F(z)展开成幂级数，这样上式的积分即成为,(613),由复变函数理论可知，上式中除m=k的积分项外， 其余各个积分均为零。对于m=k的积分则有,(614),在C内的留数,式中Res表示极点的留数，zm为F(z)z k-1的极点。如果 F(z) z k-1在z=zm处有s阶极点，此时它的留数由下式确定：,(615),若只含有一阶极点，即s=1，此式简化为 在利用式（614）(616)的时候，应当注意收敛域内的环线所包围的极点的情况，以及对于不同的n值，在原点处的极点具有不同的阶次。,(616),例621 设有Z变换式 ，试用留数法
