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1、MATLAB应用-求解非线性方程精品文档第7章 求解非线性方程7.1 多项式运算在MATLAB中的实现一、多项式的表达n次多项式表达为：，是n+1项之和在MATLAB中，n次多项式可以用n次多项式系数构成的长度为n+1的行向量表示a0, a1,an-1,an二、多项式的加减运算设有两个多项式和。它们的加减运算实际上就是它们的对应系数的加减运算。当它们的次数相同时，可以直接对多项式的系数向量进行加减运算。当它们的次数不同时，应该把次数低的多项式无高次项部分用0系数表示。例2 计算 a=1, -2, 5, 3; b=0, 0, 6, -1; c=a+b例3 设，求f(x)+g(x)f=3, -5,
2、 2, -7, 5, 6; g=3, 5, -3; g1=0, 0, 0, g;%为了和f的次数找齐f+g1, f-g1三、多项式的乘法运算conv(p1,p2)例4 在上例中，求f(x)*g(x)f=3, -5, 2, -7, 5, 6; g=3, 5, -3; conv(f, g)四、多项式的除法运算Q, r=deconv(p1, p2)表示p1除以p2，给出商式Q(x)，余式r(x)。Q,和r仍为多项式系数向量例4 在上例中，求f(x)/g(x)f=3, -5, 2, -7, 5, 6; g=3, 5, -3; Q, r=deconv(f, g)五、多项式的导函数p=polyder(P)
3、：求多项式P的导函数p=polyder(P,Q)：求PQ的导函数p,q=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。参数P,Q是多项式的向量表示，p,q也是多项式的向量表示。例4 求有理分式的导函数P=3, 5, 0, -8, 1, -5; %有理分式分子Q=10, 5, 0, 0, 6, 0, 0, 7, -1, 0, -100; %有理分式分母p,q=polyder(P,Q)六、多项式求根多项式求根就是求满足多项式p(x)0的x值。N次多项式应该有n个根。这些根可能是实根，也可能是若干对共轭复根。其调用格式是x=roots(P)其中P为多项式的系数向量，求得
4、的根赋给向量x，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的n个根。该命令每次只能求一个一元多项式的根，该指令不能用于求方程组的解，必须把多项式方程变成Pn (x) = 0的形式；例4 求方程的解。首先将方程变成Pn (x) = 0的形式：roots(1 -1 0 -1)例5 求多项式x4+8x3-10的根。A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。例6 已知 f(x)=3x5+4x3-5x2-7.2x
5、+5(1) 计算f(x)=0 的全部根。(2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P) %求方程f(x)=0的根G=poly(X) %求多项式g(x)将这个结果乘以3，就与f(x)一致7.2 求解非线性方程f ( x ) = 0方程求根的一般形式是求下列方程的根：f ( x ) = 0 (l)实际上，就是寻找使函数 f ( x）等于零的变量x，所以求方程（l）的根，也叫求函数 f ( x）的零点。如果变量x是列阵，则方程（l）就代表方程组。当方程（l）中的函数 f (x）是有限个指数、对数、三角、反三角或幂函
6、数的组合时，则方程（l）被称为超越方程，例如 e-x - sin（x / 2 ) lnx = 0 就是超越方程。当方程（l）中的函数f（x）是多项式时，即 f（x）Pn（x）= anxn + an-1xn alx + a0，则方程（l）就成为下面的多项式方程，也称代数方程：Pn（x）= anxn + an-1xn alx + a0 = 0 ( 2 ) Pn（x）的最高次数n等于2、3时，用代数方法可以求出方程（2）的解析解，但是，当n 5时，伽罗瓦（Galois）定理已经证明它是没有代数求根方法的。至于超越方程，通常很难求出其解析解。所以，方程（l）的求解经常使用作图法或数值法，而计算机的发展
7、和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。本章首先介绍求解 f ( x ) = 0 的 MATLAB 符号法指令，然后介绍求方程数值解的基本原理，最后再介绍求解 f ( x ) = 0 的 MATLAB 数值法指令。一、符号方程求解在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。当方程右端为0时，方程可以不标出等号和0，仅标出方程的左端。solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符
8、号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。例1 解下列方程。1x= solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2), x)2f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1)x= solve(f)3x= solve(2*sin(3*x-pi/4)=1)4x= solve(x+x*exp(x)-10, x) %仅标出方程的左端二、求方程f ( x ) = 0数值解的基本方法并非所有的方程 f ( x ) = 0 都能求出精确解或解析解，不存在这种解的方程就需要用数值解法求出近似解，有几种常见的数值解法基本原理：二分法。 1 求实根的二分法原理
9、设方程 f (x) =0中的函数 f ( x）为实函数，且满足： 函数 f (x）在 a , b上单调、连续； 方程 f (x) = 0 在（a , b）内只有一个实根 x*。则求方程 f (x) = 0 的根，就是在（a, b）内找出使f (x）为零的点x*：f (x*) = 0 ，即求函数 f ( x ) 的零点。因为 f (x）单调连续，由连续函数的性质可知，若任意两点aj，bj a , b ，而且满足条件 f (aj) f (bj) 0, break, end %表示无解，结束maxl=l+round( (log (b-a) -log (delta)/log (2); %从误差表达式得
10、到最小等分次数nfor k=1:max1c=(a+b)/2; %取区间中点yc=feval (f,c); if yc=0a=c; b=c; %这时解已经找到elseif yb*yc0b=c; %区间减半yb=yc; else a=c; ya=yc; end if b-a delta, break, endendc=(a+b)/2; err=abs(b-a); yc=feval (f, c)2 迭代法迭代法是计算数学中的一种重要方法，用途很广，求解线性方程组和矩阵特征值时也要用到它。这里结合非线性方程的迭代法求解，介绍一下它的基本原理。迭代法基本原理迭代法的基本原理就是构造一个迭代公式，反复用它
11、得出一个逐次逼近方程根的数列，数列中每个元素都是方程根的近似值，只是精度不同。迭代法求解方程 f ( x ) = 0 （1）时，先把方程等价地变换成形式 f ( x ) = xg(x) = 0 ， （2）移项得出：x = g(x) ( 3 ) 若函数g (x）连续，则称（3）为迭代函数。用它构造出迭代公式：xk+1= g ( xk） , k = 0 , l , 2 ， ( 4 )从初始值 x0出发，便可得出迭代序列： x k = x0, x1, x2,.xk,. （ 5 ）如果迭代序列（5 ）收敛，且收敛于x*，则由式（4）有：可见 x*便是方程（l）的根。迭代法几何意义：如下图所示，解方程f ( x ) = 0可以等价地变换成求解 x = g ( x )，图 4 - 2 方程求根迭代法原理示意图在几何上，就等价求曲线yx 和yg ( x ）交点P*的坐标 x*。求迭代序列（5) ，就等于从图中x0点出发，由函数yg ( x0）得出yP0，代入函数yx中得出Q1，再把Q1的x坐标 x1代入方程y= g ( x ）得出P1，如此继续下去，便可在曲线yg ( x )上得到一系列的点P0，P1， ，Pk， ，这些点的x坐标便是迭代数
