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1、2 1 C A O O B A D C B D 24.1.5(补充)与圆有关的角的综合导学案 学习目标 1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论; 2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。 一、导学探究 知识概述 一、圆心角: 1、的角叫圆心角 . 2、 圆心角定理: 在中, 相等的圆心角所对的相等,所对的也 相等; 3、圆心角定理推论: 在同圆或等圆中, 两个、两条、两条、两条弦的中有一组量相等, 其余各组量都相等。 二、圆周角 1、顶点在,两条边的角叫做圆周角 2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 3、圆
2、周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的 弧 推论 2:(或)所对的圆周角等于90 ;90 的圆周角所对的弦是 4、圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角 推论:圆内接四边形的任何一个外角等于它的 二、精讲多动 一、加深理解 1、对圆周角的理解 如图, AOB 与 ACB 是AB对的圆心角与圆周角,故有: ACBAOB,反之 AOBACB 定理的作用是勾通圆心角,圆周角之间的数量关系 2、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论 1: 是圆中证角相等最常用的方法之一 若将推论1 中的 “ 同弧或等弧 ” 改为 “ 同弦或等弦 ” 结论就不成立 了因
3、为一条弦所对的圆周角有两种可能,一般情况不相等(如图 中的 1 与 2) 推论 1 中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“ 在同圆或等圆中” , 离开这个前 提条件, 结论不成立 (如图中的 ACBD与) 联系圆心角定理推论可得:在同圆或等圆中, (2)推论 2 应用广泛,一般地,如果题目中有直径 时,往往 作出直径上的圆周角 直角; P B O A C D 相等的弧 相等的弦 相等的圆心角相等的圆周角 如果 需要直角或证明垂直时,也往往 作出直径 即可解决问题,推论也是证明弦是直径常用 的办法 3、对圆的内接四边形定理的理解 (1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词,是指 与四边形的
4、一个外角相邻的内角的对角 (2)定理的另一个含义是对角和相等(都为 180 ) (3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关 系的重要依据 (4)使用定理时, 要注意观察图形, 不要弄错四 边形的外角和它的内对角的位置 二、解题方法技巧点拨 1、圆心角和圆周角之间的换算 1、已知:如图,AB 为 O 的直径,弦CD 交 AB 于 P,且 APD60 , COB30 ,求 ABD 的度数 仿解: 如图, BC 为半圆 O 的直径,点F 是弧 BC 上一动点(点F 不与 B、C 重合) ,A 是弧 BF 上的中点,设FBC, ACB . 当 50 时,求 的度数。 猜想 与 之间的关系,并给与证明。
5、 2、圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题 圆内角:角的顶点在圆内的角叫做圆内角 圆外角:角的顶点在圆外, 并且两边都和圆相交的角 2、如图,圆的弦AB、CD 延长线交于P 点, AD、 BC 交 于 Q 点, P28 , AQC92 ,求 ABC 的度数 3、与圆周角有关的证明 3、如图, ABC 内接于 O,AEBC 于 D,交 O 于 E, AF 为 O 的直径 求证: BAF CAE (2) 求证: AB ACAD AF; (3)若过 O 作 ON AB 于 N,则 ON 与 CE 之间有何数量关系? A OB C F D FE O A B C Q B D O P A C 4、如图, AB 是 ABC 外接圆 O 的直径, D 为 O 上一点,且DE CD 交 BC 于 E, 求证: EB CDDE AC E B O A C D 4、与圆的内接四边形的有关计算问题 5、如图,已知AB 是半圆 O 的直径, BAC 40 ,D 是 AC 上任意一点,那么D 的度数 是_ C B AO D 5、与圆的内接四边形有关的证明问题 6、如图,已知: AB 是 O 的直径,弦CDAB 于 E,G 是AC上任意一点, AG、DC 的延 长线交于 F求证: FGC AGD G EC B A O D F