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1、第 1 页 共 41 页 2013 年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷解析 满分 120 分，考试时间120 分钟 来源 从而抛物线必过点4, 1. 来源: 中%#&教网 24在 ABC 中， AB=AC ， BAC=（ 600 ），将线段BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段BD。 （1）如图 1，直接写出 ABD 的大小（用含的式子表示）； （2）如图 2， BCE=150 ， ABE=60 ，判断 ABE 的形状并加以证明； （3）在（ 2）的条件下，连结DE，若 DEC=45，求的值。 解析 ：【解析】（ 1） 1 30 2 （2）ABE为等边三角形 证明连接AD、 CD 、ED
2、 线段 BC绕点 B 逆时针旋转60 得到线段BD 则 BCBD ，60DBC 又60ABE 1 6030 2 ABDDBEEBC 且BCD为等边三角形 . 第 12 页 共 41 页 在ABD与ACO中 ABAC ADAD BDCD ABDACD（SSS） 11 22 BADCADBAC 150BCE 11 180(30)150 22 BEC 在 ABD 与 EBC 中 BECBAD EBCABD BCBD ABDEBC（AAS） ABBE ABE为等边三角形 （3）60BCD，150BCE 1506090DCE 又 45DEC DCE为等腰直角三角形 DCCEBC 150BCE (1801
3、50 ) 15 2 EBC 而 1 3015 2 EBC 30 【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模 型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的. 25对于平面直角坐标系xOy中的点 P 和 C，给出如下定义： 若 C 上存在两个点A，B， 使得 APB=60 ，则称P为 C 的关联点。 已知点 D（ 2 1 ， 2 1 ）， E（0，- 2）， F（32，0） （1）当 O 的半径为1 时， 在点 D， E，F 中， O 的关联点是 _； E A BC D 第 13 页 共 41 页 过点 F 作直线交y轴正半轴于点G，使 GFO=30，若直线
4、上的点P（m，n） 是 O 的关联点，求m的取值范围； （2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。 解析 ：【解析】 (1) ED、； 由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点； 需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹 的角度为60； 由图1可知60APB，则30CPB， 连接BC，则rBC CPB BC PC22 sin ； 若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足rd20； 由上述证明可知， 考虑临界位置的P点，如图 2； 点P到原点的距离212OP； 过O作x轴的垂线OH，垂足为H； 3 2 32 tan OG OF OGF； 60OGF； 3
5、60sinOGOH； 2 3 sin OP OH OPH； 60OPH； 易得点 1 P与点G重合，过 2 P作xMP2 轴于点M； 易得30 2OM P； 330cos 2 OPOM； 从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段 21P P上； 图1 C B A P x y M P2 G(P1) 图2 H OF 第 14 页 共 41 页 30m； (2) 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段EF的中点； 考虑临界情况，如图3； 即恰好FE、点为圆K的关联时，则2 2 1 2EFKNKF； 此时1r； 故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联 点
6、， 这个圆的半径r的取值范围为1r. 【点评】“ 新定义 ” 问题最关键的是要能够把“ 新定义 ” 转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开 头部分的解析，可以看出本题的“ 关联点 ” 本质就是到圆心的距离小于或等于2倍 半 径的点 . 了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了. 2013 年北京市中考数学试题难点解析 2013 年北 京市 中考 试 卷数 学试 题整 体难 度较 2012 年 有 所下 降。 从 近四 年 （2009-2012 ）北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数学整体大小年的规 律。 2013 年 北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。 本
7、套试卷在保持对基础知识的考察力度上，更加重视对数学思想方法和学生综合素质 能 力的考察， 体现了“实践与操作， 综合与探究， 创新与应用” 的命题特点， 与中考考试 说明中C级要求相呼应。 一、试题的基本结构： 整个试卷五道大题、25 个题目，总分120 分。 其中包括 选择题 （共 8 个题目，共32 分）、 x y 图3 N K E F 第 15 页 共 41 页 填空题 （共 4 个题目，共16 分）、 解答题 （包括计算题，证明题、应用题和综合题；共13 个 题目，共72 分）。 1. 题型与题量 选择题填空题解答题 题数分值题数分值题数分值 8 32 4 16 13 72 2. 考查
8、的内容及分布 中国教育出&版% 网 从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学课程标准所列的主要知识点，并且对初中数学 的主要内容都作了重点考查。 内容数与代数图形与空间统计与概率 分值60 47 13 3. 每道题目所考查的知识点 题型题号考查知识点 选 择 题 1 科学记数法 2 有理数的概念（倒数） 3 概率 4 平行线的性质 5 相似三角形 6 轴对称、中心对称 7 平均数 8 圆中的动点的函数图像 填 空 题 9 因式分解（提公因式法、公式法） 10 抛物线的解析式 11 矩形、中位线 12 函数综合找规律（循环规律） 解 答 题 一 13 三角形全等证明 14 实数运算（ 0 次幂、 -
9、1 次幂、绝对值、特殊角三角函数） 15 解一元一次不等式组 16 代数式化简求值（整体代入） 17 列分式方程解应用题 18 一元二次方程（判别式、整数解） 解 答 题 二 19 梯形中的计算（平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质） 20 圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质） 21 统计图表（折线统计图、扇形统计图、统计表） 22 操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形） 解 答 23 代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、 数形结合思想、二次函数解析式的确定） 第 16 页 共 41 页 题 三 24 几何综合（
10、等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角） 25 代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、 数形结合） 二、命题主要特点： 第8、12、22、 23、 24、25 题依旧是比较难的题型，其他题型属于基础或者中档题。 近四年北京中考数学试题这几道题考查分布： 题型年份2010201120122013 第8题 （创新题） 立体图形展开 图 动点函数图象动点函数图象动点函数图象 第22 题 （操作与探究） 轴对称、正方形平移、等积变换 几何坐标化、 方 程与方程组 正方形、等边三 角形、全等三角 形 第23 题 （综合题） （代数综合） 反比例函数、旋 转、恒等
11、变形 （代数综合） 二次函数、一次 函数、等腰直角 三角形、数形结 合 （代数综合） 二次函数、一 次 函数、一元二 次 方程、函数图 象 平移、数形结 合 （代数综合） 一次函数、二次 函数、图形对称 数形结合 第24 题 （综合题） （代几综合） 二次函数、等腰 直角三角形、分 类讨论、数形结 合 （几何综合） 旋转、等腰直角 三角形、等边三 角形、直角三角 形、平行四边形 （几何综合） 轴对称、等腰三 角形、倒角 （几何综合） 等边三角形、等 腰直角三角形、 旋转、倒角 第25 题 （综合题） （几何综合） 等腰三角形、轴 对称、倒角 （代几综合） 一次函数、圆、 平行四边形、分 类讨论
12、 （代几综合） “新定义” 、一次 函数、圆、相似 （代几综合） 一次函数、圆、 特殊直角三角形 特点一、 题目总体难度降低，23 题代数综合和25 题代几综合等压轴题理解题意仍有一 定难度，以体现试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。 特点二、 题型设置上较以往有微调，例如第1、2 题位置调整；第18 题的一次函数综合 体换成了一元二次方程；第19 题回归对梯形的考察；第20 题第 (1)问没有考察切线的证明 等。 特点三、 试题内容上趋于稳定，没有“ 偏难怪 ” 题，除了 25 题中的新定义 “ 关联点 ” 之外， 其他题都较为常规，较好的体现了“ 稳中求变 ” 的命题主导思想。
13、特点四、 从试卷中最直观反应出的是阅读量的减小，去年中考第25 题占了一整页纸， 阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。 特点五、 计算量大幅下降，去年计算题19 题、 20 题是几何计算题，有一定的难度，计 算量普遍大，但今年的19 题、 20 题不论解题难度还是计算难度都骤降。 第 17 页 共 41 页 特点六、 填空第 12 题考察循环规律，与前2 年的递进规律类型有所不同，当然如果重 视观察能力和精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到 1 A。 特点八、 延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，例如选择题第8 题、解答题 第 20 题。解答题第25 题都涉及
14、圆的知识。 特点九、 考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。解答题第23 题第三小问，重 点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。 三、重难易错题目点评： 1. 易错题目 易错题号错误原因 8 易被圆的对称性误导，从而误认为函数图象为对称图像 12 前 2 年均为递进规律，形成思维定势， 不太容易抓住本质规律（循环规律） 17 分式方程应用题忘记检验 2. 难题 来源:#zzst*% 难题题号不得分原因 22 没看懂题，不理解图2 的作用是什么 23 利用对称来进行数形结合练得比较少，抓不住第(3)问的关键 24 对重要全等模型“手拉手”不熟悉，很难发现如何构造三角形全等；倒角证
15、明三角形全等也是本题的难点 25 题目没读懂，没有理解“新定义”的关键是到原点的距离要小于半径的2 倍 总体来看， 2013 年并没有出现一点儿都无从下手的题目，体现了很好的梯度，让学生 上手容易拿全难，有比较好的区分度，这是北京中考命题的一大特点，相信2014 年也会是 这种形式。 第 18 页 共 41 页 2013 年上海市初中毕业生统一学业考试 数学试卷 （满分 150 分，考试时间100 分钟） 考生注意： 1本试卷含三个大题，共25 题； 2答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置 上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3除第一、二大题外，其余各题如无特别说 明，都必须在答题
16、纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤 一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在 答题纸的相应位置上】 1下列式子中，属于最简二次根式的是（） （A）9； （B）7 ；（C）20 ； （D） 1 3 2下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（） （A） 2 10 x；（ B） 2 10 xx；（ C） 2 10 xx；（ D） 2 10 xx 3如果将抛物线 2 2yx向下平移1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是（） （A） 2 (1)2yx；（ B） 2 (1)2yx；（C） 2 1yx；（ D） 2 3yx 4数据0，1， 1，3，3，4 的中位线和平均数分别是（） （A） 2 和 2.4 ；（B）2 和 2 ；（C）1 和 2；（D）3 和 2 F E A BC D 图 1 第 19 页 共 41 页 5如图 1，已知在 ABC 中，点 D、E、F 分别是边AB 、AC、 BC 上的点， DEBC，EFAB ，
