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1、2012 年怀柔区四月高三年级调研考试理科数学试题及答案 2012.4 一、选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的 1已知全集U=一 l，0，1，2，集合 A=一 l，2，B=0，2，则BACU)( A0 B2 C0，l， 2 D 2已知i为虚数单位，2 i z ，则复数z Ai1Bi1C2iD 2i 3“ a=2”是“ 直线 ax 十 2y=0 与直线 x+y=l 平行 ” 的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1 的等腰直角三角形，则
2、这个几何体的体积是 A 2 1 B1 C 2 3 D2 5函数 2 (sincos )1yxx是 A最小正周期为2的奇函数 B最小正周期为2的偶函数 C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数 6过点 4 , 2 A引圆4sin的一条切线，则切线长为 A33B36C22D24 7将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体 1111 ABCDAB C D, 不 同的标字母方式共有 A24 种B48 种 C72 种D144 种 1 1 主视图 左视图 俯视图 开 始 i=1, s=0 s=s+i 1 i=i+2 输出 S 结 束 否 是 8若函数 yfxxR 满足 2fxfx ，且 1,1x 时
3、， 2 1fxx， 函数 lg0 1 0 xx g x x x ，则函数h xfxg x在区间5,5内的零点的个 数为 A5B7C8D10 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，满分30 分 9二项式 5 2 1 x x的展开式中含 4 x的项的系数 是（用数字作答） 10如图给出的是计算 2011 1 5 1 3 1 1的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 11如图， PA是圆的切线， A 为切点， PBC是圆 的割线，且PBPA3， 则 BC PB 12 当(1,2)x时，不等式 2 (1)logaxx恒成立，则实数 a 的取值范围为 13已知不等式组 1 2 2 y
4、yx yx 表示的平面区域为,M若直线13kkxy与平面区域 M有公共点，则k的取值范围是 14手表的表面在一平面上整点1，2， ，12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 2 2 的 圆 周上 从整 点i到整点（ i 1 ） 的 向量记作 1iit t，则 2111243323221 tttttttttttt 三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 15 （本小题满分13 分） 在ABC中，a b c、分别为角A B C、的对边，且满足 222 bcabc （）求角A的值； P B A C （）若3a，设角B的大小为x，ABC的周长为y，求( )y
5、f x的最大值 16 （本小题满分14 分） 如图，在四棱锥SABCD中， 底面ABCD是 正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD 的交点为O，E为侧棱SC上一点 （）当E为侧棱SC的中 点时，求证： SA平面BDE； （）求证：平面BDE平面SAC； （）当二面角EBDC的大小 为45 时，试判断点 E在SC上的位置，并说明理由 O S A B C D E 17 （本小题满分13 分） 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产 品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为495,490，500,495， ， 515,510由此得到样本的频
6、率分布直方图，如图所示： （）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量； （）在上述抽取的40 个产品中任职2 件，设为重量超过505 克的产品数量，求的分 布列； （）从流水线上任取5 件产品，估计其中恰 有 2 件产品的重量超过505 克的概率 18 （本小题满分13 分） 已知 x x xgexxaxxf ln )(,0(,ln)(，其中e是自然常数，Ra （）讨论1a时，( )f x的单调性、极值； （）求证：在（）的条件下， 1 ( )( ) 2 f xg x； （）是否存在实数a，使( )fx的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理 由 19 （本小题满分14
7、分） 已知：椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ba） ，过点)0,(aA，), 0(bB的直线倾斜角为 6 ，原点到该直线的距离为 2 3 （）求椭圆的方程； （）斜率大于零的直线过 )0, 1(D 与椭圆交于E，F两点，若 DFED2 ， 求直线EF 的方程； （）是否存在实数k，直线2kxy交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点 )0, 1(D？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 20 （本小题满分13 分 ） 定义：对于任意 * nN，满足条件 2 1 2 nn n aa a且 n aM（M是与n无关的常数） 的无穷数列 n a称为T数列 （）若 2 9 n ann(
8、* nN)，证明：数列 n a是T数列； （）设数列 n b的通项为 3 50 2 n n bn ，且数列 n b是T数列，求常数M的取值范 围； （）设数列1 n p c n ( * nN，1p)，问数列 n c是否是T数列？请说明理由 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8 个小题；每小题5 分，共 40 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C C A C D B C 二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 910 102011i11 2 1 122, 1(13)0 , 3 1 14936 三、解答题：本大题共6 小题，满分 80 分 15 （本小题满
9、分13 分） 在ABC中，a b c、分别为角A B C、的对边，且满足 222 bcabc （）求角A的值； （）若3a，设角B的大小为x，ABC的周长为y，求( )yf x的最大值 解： （） 222 bcabc， 222 1 cos 22 bca A bc 又0A， 3 A；-5分 （） A a x b sinsin ， xxx a bsin2sin 2 3 3 sin 3 sin 同理) 3 2 sin(sin sin xC A a c 3) 6 sin(323) 3 2 sin(2sin2xxxy 3 2 0, 3 xA) 6 5 , 6 ( 6 x， 62 x即 3 x时， max
10、 3 3y.-13 分 16 （本小题满分14 分） 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是 正 方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交 点为O，E为侧棱SC上一点 （）当 E为侧棱 SC的中 点时，求证： SA平面BDE； （）求证：平面BDE平面SAC； （）当二面角EBDC的大小 为45 时，试判断点 E在SC上的位置，并说明理由 （）证明：连接OE，由条件可得SAOE. 因为SA?平面BDE，OE 平面BDE， 所以SA平面BDE.-4 分 （）证明：由（）知SOABCD面，ACBD. 建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥SABCD的底面边长为2， 则(0, 0, 0
11、)O，(0, 0,2)S， 2, 0, 0A， 0,2, 0B，2, 0, 0C， 0,2, 0D. 所以 2 2, 0, 0AC ， 0,2 2, 0BD. 设CEa（02a） ，由已知可求得45ECO. 所以 22 (2, 0,) 22 Eaa， 22 (2,2,) 22 BEaa. 设平面BDE法向量为( ,)x y zn， 则 0, 0 BD BE n n 即 0, 22 (2)20. 22 y a xyaz O S A B C D E O y z x S A B C D E 令1z，得(, 0, 1) 2 a a n. 易知 0,22, 0BD 是平面SAC的法向量 . 因为(, 0
12、, 1) (0,2 2, 0)0 2 a BD a n， 所以BD n，所以平面BDE平面SAC.-9 分 （ ）解：设CEa（02a） ，由（）可知， 平面BDE法向量为(, 0, 1) 2 a a n. 因为SOABCD底面， 所以 (0, 0, 2)OS 是平面SAC的一个法向量. 由已知二面角EBDC的大小为45. 所以 2 cos,cos45 2 OS n， 所以 2 22 2 ()12 2 a a ，解得1a. 所以点 E是SC的中点 .-14 分 17 （本小题满分13 分） 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产 品作为样本称出它们的重量（
13、单位：克），重量的分组区间为495,490，500,495， ， 515,510由此得到样本的频率分布直方图，如图所示： （ ）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量； （ ）在上述抽取的40 个产品中任职2 件，设为重量超过505 克的产品数量， 求的分布 列； （ ）从流水线上任取5 件产品，估计其中恰 有 2 件产品的重量超过505 克的概率 解： （ ）重量超过505 克的产品数量是12)501.0505. 0(40件-2 分 （ ）的所有可能取值为0,1,2 2 28 2 40 63 (0) 130 C P C , 11 1228 2 40 56 (1) 130 C C
14、P C , 2 12 2 40 11 (2) 130 C P C , 的分布列为 -9分 （ ）由（）的统计数据知，抽取的40 件产品中有12 件产品的重量超过505 克，其 频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505 克的概率为3 .0， 令为任取的5 件产品中重量超过505 克的产品数，则)3.0, 5( B， 故所求的概率为3087. 0)7 .0()3.0()2( 322 5 Cp-13 分 18 （本小题满分13 分） 已知 x x xgexxaxxf ln )(,0(,ln)(，其中e是自然常数，Ra （ ）讨论1a时 , ( )f x的单调性、极值； （ ）求证：
15、在（ ）的条件下， 1 ( )( ) 2 f xg x; （ ）是否存在实数a，使( )f x的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由 解： （ ）xxxfln)(， x x x xf 11 1)( 当10 x时， / ( )0fx，此时( )f x单调递减 当ex1时， / ( )0fx，此时( )f x单调递增 ( )f x的极小值为1)1 (f-4分 （ ）( )f x的极小值为1，即( )f x在,0(e上的最小值为1， 0)(xf， min ( )1f x5 分 令 2 1ln 2 1 )()( x x xgxh， x x xh ln1 )(， 当ex0时，0)(xh，( )h x在,0(e上单调递增 minmax |)(|1 2 1 2 1 2 11 )()(xf e ehxh
