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1、2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分 一、选择题 错误！未指定书签。 （2012 年高考（新课标理） ）已知函数 1 ( ) ln(1) f x xx ; 则( )yf x 的图像大致为 错误！未指定书签。 （2012 年高考（浙江理） ）设a0,b0.（） A若2223 ab ab, 则ab B若2223 ab ab, 则ab D若2223 ab ab, 则a0a. ( ) 求a的值 ; 1 1 y x O 第 3 题图 1 1 1 1 ( ) 若对任意的0,+)x, 有 2 ( )f xkx成立 , 求实数k的最小值 ; ( ) 证明 =1 2 ln (2 +1)0,bR,函数
2、3 42fxaxbxab. ( ) 证明 : 当 0 x1 时, ( ) 函数fx的最大值为 |2a-b| a; ( ) fx+|2a-b| a0; ( ) 若1fx1 对x0,1恒成立 , 求a+b的取值范围 . 错误！未指定书签。 （ 2012 年高考（重庆理） ）( 本小题满分13 分,( ) 小问6分,( ) 小问7 分.) 设 13 ( )ln1, 22 f xaxx x 其中aR, 曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线垂直于 y轴. ( ) 求a的值 ; ( ) 求函数( )f x的极值 . F G D E A B C 错误！未指定书签。 （2012 年高考（陕西理） ）设
3、函数( )(, ,) n n fxxbxcnNb cR (1) 设2n,1,1bc, 证明 :( ) n fx在区间 1 ,1 2 内存在唯一的零点; (2) 设2n, 若对任意 12 ,x x 1,1, 有 2122 |()()|4fxfx, 求b的取值范围 ; (3) 在(1) 的条件下 , 设 n x是( ) n fx在 1 ,1 2 内的零点 , 判断数列 23 , n xxx的增减性 . 错 误 ！ 未 指 定 书 签 。（ 2012年 高 考 （ 山 东 理 ） ）已 知 函 数 ln ( ) x xk f x e (k为 常 数 ,2.71828e是自然对数的底数), 曲线( )
4、yfx在点(1,(1)f处的切线与x轴平 行. ( ) 求k的值 ; ( ) 求( )f x的单调区间 ; ( ) 设 2 ( )()( )g xxx fx, 其 中 ()fx为( )f x的 导 函 数 . 证 明 : 对 任 意 2 0,( )1xg xe. 错误！未指定书签。 （2012年高考（辽宁理） ）设 ( )ln(1)1( , ,)fxxxaxb a bR a b为常数 , 曲线 ( )yf x 与 直线 3 2 yx在(0,0)点相切 . ( ) 求,a b的值 . ( ) 证明 : 当02x时, 9 ( ) 6 x f x x . 错误！未指定书签。 （ 2012 年高考（江
5、苏） ）若函数)(xfy在 0 xx处取得极大值或极小值, 则称 0 x为函数)(xfy的极值点 . 已知ab，是实数 ,1 和1是函数 32 ( )fxxaxbx的两个极值点 . (1) 求a和b的值 ; (2) 设函数( )g x的导函数( )( )2g xf x, 求( )g x的极值点 ; (3) 设( )( )h xff xc, 其中 22c，,求函数( )yh x的零点个数 . 错误！未指定书签。 （2012 年高考（湖南理） ）已知函数( )fx= ax ex, 其中a 0. (1) 若对一切xR,( )f x1 恒成立 , 求a的取值集合 . (2) 在函数( )f x的图像上
6、取定两点 11 (,()A xf x, 22 (,()B xf x 12 ()xx, 记直线 AB 的斜 率为 K,问 : 是否存在 x0(x1,x2), 使 0 ()fxk成立 ?若存在 , 求 0 x的取值范围 ; 若不存在 , 请说明理由 . 错误！ 未指定书签。 （2012 年高考 （湖北理）( ) 已知函数( )(1) (0) r f xrxxrx, 其中r 为有理数 , 且 01r. 求( )f x 的 最小值 ; ( ) 试用( ) 的结果证明如下命题: 设 12 0,0aa, 12 ,bb 为正有理数 . 若 12 1bb, 则 12 121 122 bb aaa ba b ;
7、 ( ) 请将( ) 中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法 证明你所推广的命题. 注: 当为正有理数时 , 有求导公式 1 ()xx. 错 误 ！ 未 指 定 书 签 。 （ 2012年 高 考 （ 广 东 理 ）( 不 等 式 、 导 数 ) 设1a, 集 合 0AxR x , 2 23 160BxRxa xa , DAB. ( ) 求集合D( 用区间表示 ); ( ) 求函数 32 23 16fxxa xax在D内的极值点 . 错误！未指定书签。 （2012 年高考（福建理） ）已知函数 2 ( )() x fxeaxex aR. ( ) 若曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线平
8、行于x轴, 求函数( )f x的单调区间 ; ( ) 试确定a的取值范围 , 使得曲线( )yf x上存在唯一的点 P, 曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点P. 错误！未指定书签。 （2012 年高考（大纲理） ）( 注意 : 在试题卷上作答无效 ) 设函数( )cos ,0,f xaxx x. (1) 讨论( )f x的单调性 ; (2) 设( )1sinfxx, 求a的取值范围 . 错误！未指定书签。 （2012 年高考（北京理） ）已知函数 2 ( )1f xax(0a), 3 ( )g xxbx. (1) 若曲线( )yf x与曲线( )yg x在它们的交点 (1,c) 处具有公
9、共切线, 求,a b的值 ; (2) 当 2 4ab时, 求函数( )( )f xg x的单调区间 , 并求其在区间(,1上的最大值 . 错误！未指定书签。 （2012 年高考（安徽理）(本小题满分13 分)设 1 ( )(0) x x f xaeb a ae (I) 求( )fx在0,)上的最小值 ; (II)设曲线( )yf x在点(2,(2)f的切线方程为 3 2 yx; 求,a b的值 . 2012 年高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案 一、选择题 错误！未找到引用源。【解析】选 B ( )ln(1)( ) 1 ( )010,( )00( )(0)0 x g xxxg x x g
10、xxgxxg xg 得: 0 x 或 10 x 均有( )0fx排除,A C D 错误！未找到引用源。【答案 】A 【 解 析 】 若2223 ab ab, 必 有2222 ab ab. 构 造 函 数 :22 x fxx, 则 2ln 220 x fx恒成立 , 故有函数22 x fxx在x0 上单调递增 , 即ab成立 .其 余选项用同样方法排除. 错误！未找到引用源。【答案】 D 【解析】2,10 xx, 由(1)( )0( )0 x fxfx, 函数( )f x为增 ; 21,10 xx, 由(1)( )0( )0 x fxfx, 函数( )f x为减 ; 12,10 xx, 由(1)
11、( )0( )0 x fxfx, 函数( )f x为减 ; 2,10 xx, 由(1)( )0( )0 x fxfx, 函数( )f x为增 . 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号, 当导函数大于0, 则函数为增 , 当 导函数小于0 则函数递减 . 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。解 析 :( )(1) x fxxe, 令( )0,fx得1x,1x -时,( )0fx,( ) x f xxe为增函数 , 所以 1x为( )f x的极小值点 , 选 D. 错误！未找到引用源。【解析】若函数 x axf)(在R 上为减函数, 则有10a. 函数 3 )2()(xaxg为增函数
12、 , 则有02a, 所以2a, 所以“函数 x axf)(在 R 上为 减函数”是“函数 3 )2()(xaxg为增函数”的充分不必要条件, 选 A. 错误！未找到引用源。考点分析 : 本题考察利用定积分求面积. 解 析 : 根 据 图 像 可 得 : 2 ( )1yf xx, 再 由 定 积 分 的 几 何 意 义 , 可 求 得 面 积 为 1 231 1 1 14 (1)() 33 Sxdxxx . 错误！未找到引用源。【答案】 C 【解析】 3 1 2 2 0 1 211 ()()1 326 0 Sxx dxxxS 正阴影 , 故 1 6 P, 答案 C 【考点定位】本题主要考查几何概
13、型的概率和定积分, 考查推理能力、计算求解能力. 错误！未找到引用源。答案 A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用. 要是函数图像与x 轴有两个不同的交点, 则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点, 结合该函数的图像, 可得极大值或者 极小值为零即可满足要求. 而 2 ( )333()(1)fxxxx, 当1x时取得极值 由(1)0f或( 1)0f可得20c或20c, 即2c. 二、填空题 错误！未找到引用源。 解析 如图 1, 1,1010 0,10 )( 2 1 2 1 xx xx xf, 所以 1,1010 0,10 )(
14、 2 1 2 2 1 2 xxx xx xxfy, 易知 ,y=xf(x) 的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同, 只是开口方向及顶点位置 不同 , 如图2, 封闭图形MNO与OMP全等 , 面积相等 , 故所求面积即为矩形ODMP的面积 S= 4 5 2 5 2 1 . 评注 对于曲边图形, 上海现行教材中不出微积分, 能用微积分求此面积的考生恐是极少 的, 而对于极大部分考生, 等积变换是唯一的出路. 错误！未找到引用源。【解析】由已知得 2 2 3 0 2 3 0 3 2 | 3 2 aaxxS a a , 所以 3 2 2 1 a, 所以 9 4 a. 错误！未找到引用源。 2 3
15、 【解析】本题考查有关多项式函数, 三角函数定积分的应用. 3 1 21 1 1 11112 (sin )cos|cos1cos1 333333 x xx dxx . 【点评】这里 , 许多学生容易把原函数写成 3 cos 3 x x, 主要是把三角函数的导数公式记混 而引起的 . 体现考纲中要求了解定积分的概念. 来年需要注意定积分的几何意义求曲面面 积等 . 错误！未找到引用源。解析 :210 xy. 2 1 |3 112 x y, 所以切线方程为321yx, 即210 xy. x y A B C 1 5 图 1 N x y O D M 1 5 P 图 2 三、解答题 错误！未找到引用源。
16、【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调 性、不等式等基础知识, 考查函数思想、 分类讨论思想、 考查综合分析和解决问题的能力. (1)( )f x的定义域为(,)a ( )ln()f xxxa 11 ( )101 xa fxxaa xaxa ( )01,( )01fxxa fxaxa 得： 1xa时， min ( )(1)101f xfaaa （2）设 22 ( )( )ln(1)(0)g xkxf xkxxxx 则( )0g x在0,+)x上恒成立 min ( )0(0)g xg（*） (1)1ln 200gkk 1(221) ( )21 11 xkxk gxkx xx 当 1 210() 2 kk时， 00 12 ( )00()(0)0 2 k g xxxg xg k 与（ *） 矛盾 当 1 2
