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1、高中数学选修 23 全套教案 1.1 基本计数原理 （第一课时） 教学目标： 理解分类计数原理与分步计数原理 会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点：（1）理解分类计数原理与分步计数原理 （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学过程 一、复习引入： 一次集会共 50 人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计 一下，大家握手次数共有多少？ 某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少 种不同走法？ 二、讲解新课： 问题 1 春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客 机。已知当天长途车有 2 班，
2、列车有 3 班。问共有多少种走法？ 设问 1： 从济南到北京按交通工具可分 类方法? 第一类方法,乘火车，有 种方法;第二类方法,乘汽车，有 种方法; 从甲地到乙地共有 种方法 设问 2：每类方法中的每种一方法有什么特征？ 问题 2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有 3 种 走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？ 从济南到北京须经 再由 到北京有 个步骤 第一步,由济南去天津有 种方法第二步,由天津去北京有 种方法, 设问 2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的? 1 分类计数原理：（1）加法原理：如果
3、完成一件工作有 K 种途径，由第 1 种途径有 n1 种方法 可以完成，由第 2 种途径有 n2 种方法可以完成，由第 k 种途径有 nK 种方法可以完成。 那么，完成这件工作共有 n1+n2+nK 种不同的方法。 1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的 即： 它们两两的交集为空集！3 每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 2，乘法原理：如果完成一件工作可分为 K 个步骤，完成第 1 步有 n1 种不同的方法，完成第 2 步有 n2 种不同的方法，完成第 K 步有 nK 种不同的方法。那么，完成这件工作共有 n1 n2nK 种不同方法
4、 1 标准必须一致、正确。2“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、 交叉。3 若完成某件事情需 n 步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次 完成这 n 个步骤后,这件事情才算完成。 三、例子 例 1书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放 有 2 本不同的体育书， 从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？ 从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？ 解：（1）从书架上任取 1 本书，有 3 类办法：第 1 类办法是从第 1 层取 1 本计算机书， 有 4 种方法；第 2 类是从
5、第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 类办法是从第 3 层取 1 本,- 1 -,体育书，有 2 种方法新疆 根据分类计数原理，不同取法的种数是 4+3+2=9 种新疆 王新敞王新敞 奎屯奎屯 所以，从书架上任取 1 本书，有 9 种不同的取法； （2）从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，可以分成 3 个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计 算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取 1 本艺术书，有 3 种方法；第 3 步从第 3 层取 1 本 体育书，有 2 种方法新疆 根据分步计数原理，从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，不同取法的种 王新敞 奎屯
6、,数是43 2 24 种,奎屯,王新敞,新疆,新疆 王新敞 奎屯,所以，从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有 24 种不同的取法,新疆王 新敞奎 屯,例 2一种号码拨号锁有 4 个拨号盘，每个拨号盘上有从 0 到 9 共 10 个数字，这 4 个拨号 盘可以组成多少个四位数号码？ 解：每个拨号盘上的数字有 10 种取法，根据分步计数原理，4 个拨号盘上各取 1 个数字组 成的四位数字号码的个数是 N 10101010 10000 ， 所以，可以组成 10000 个四位数号码新疆 王新敞 奎屯 例 3要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 解：从
7、3 名工人中选 1 名上日班和 1 名上晚班，可以看成是经过先选 1 名上日班，再选 1 名上晚班两个步骤完成，先选 1 名上日班，共有 3 种选法；上日班的工人选定后，上晚班的 工人有 2 种选法根据分步技数原理，不同的选法数是 N 3 2 6 种，6 种选法可以表示如,下： 日 班 晚 班 甲 乙 甲 丙 乙 甲 乙 丙 丙 甲 丙 乙 所以，从 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班，6 种不同的选法王新敞 新疆 奎屯 例 4，若分给你 10 块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，问共有多少 种不同的吃法？n 块糖呢？ 课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理及简单应用
8、 课堂练习： 课后作业：,- 2 -,1.1 基本计数原理 （第二课时） 教学目标：会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点：会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学过程 一、复习引入：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有 k 种途径，由第 1 种途径有 n1 种方法可以完成，由第 2 种途径有 n2 种方法可以完成，由第 k 种途径有 nk 种方法可以完成。那么，完成这件工作共有 n1+n2+nk 种不同的方法。 2，乘法原理：如果完成一件工作可分为 K 个步骤，完成第 1 步有 n1 种不同的方法，完成 第 2 步有 n2 种不同的方法，完成第 K 步有
9、 nK 种不同的方法。那么，完成这件工作共有 n1n2nk 种不同方法 二、讲解新课： 例 1 书架上放有 3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书 若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ 若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ 若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？ 例 2 在 120 共 20 个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 解:取a b 与取b a 是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计 数原理得(109)/2=45 种取法,第二类,奇奇相加,也有(109)/2=45
10、种取法.根据分类计数原 理共有 45+45=90 种不同取法. 例 3 如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色 使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()A 180 B 160 C 96 D 60,奎屯,王新敞,新疆,例 5 75600 有多少个正约数?有多少个奇约数? 解:75600 的约数就是能整除 75600 的整数,所以本题就是分别求能整除 75600 的整数和奇 约数的个数. 由于 75600=2433527 75600 的 每 个 约 数 都 可 以 写 成 2l 3 j 5k 7l 的 形 式 , 其 中 0 i 4 , 0 j 3 ,
11、 0 k 2 , 0 l 1 于是,要确定 75600 的一个约数,可分四步完成,即 i, j, k, l 分别在各自的范围内任取一个值,这样i 有 5 种取法, j 有 4 种取法, k 有 3 种取法, l 有 2 种取法,根据分步计数原理得约数的个数为 5432=120 个. 奇约数中步不含有 2 的因数,因此 75600 的每个奇约数都可以写成3 j 5k 7l 的形式, 同上奇约数的个数为 432=24 个.,- 3 -,图一图二 若变为图二,图三呢?(240 种,5444=320 种),图三,- 4 -,课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理的应用 课堂练习： 课后作业：,1.2
12、.1 排列 （第一课时） 教学目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导 教学重点：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导 教学过程 一、复习引入：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有 k 种途径，由第 1 种途径有 n1 种方法可以完成，由第 2 种途径有 n2 种方法可以完成，由第 k 种途径有 nk 种方法可以完成。那么，完成这件工作共有 n1+n2+nk 种不同的方法。 2，乘法原理：如果完成一件工作可分为 K 个步骤，完成第 1 步有 n1 种不同的方法，完成 第 2 步有 n2 种不同的方法，完成第 K 步有 nK 种不同的方法。那么，完成这件工作共有
13、 n1n2nk 种不同方法 二、讲解新课： 1排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （ m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）,奎屯,王新敞,新疆,按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列,说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同新疆 王新敞 奎屯,2排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （ m n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n m,n,新疆 王新敞 奎屯,个元素中取出m 元素的排列数，用符号 A 表示,新疆 王新敞 奎屯,注意区别排列和排列数的不同：“一个排列
14、”是指：从 n 个不同元素中，任取 m 个元素按 照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （ m n ）个元 m,新疆王 新敞奎 屯,素的所有排列的个数，是一个数所以符号 An 只表示排列数，而不表示具体的排列,3排列数公式及其推导：,(n m 1) ，,求 Am 以按依次填m 个空位来考虑 Am n(n 1)(n 2) nn 排列数公式：,n,Am n(n 1)(n 2)(n m 1) =,n! (n m)!,（ m, n N , m n ）,说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个 少 1，最后一个因数是n m 1 ，共有m 个因数
15、； （2）全排列：当n m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列新疆 王新敞 奎屯,n,n,全排列数： A n(n 1)(n 2),2 1 n!（叫做 n 的阶乘）新疆 王新敞 奎屯,- 5 -,4.例子： 例 1计算：（1） A3 ； （2） A6 ； （3） A4 1666,3,16,解 ：（1） A 1615,6,6,4,6,新疆 王新敞 奎屯,14 3360 ；（2） A 6!720 ；（3） A 65 43 360,n,例 2（1）若 Am 17 16 15, 5 4 ，则n ， m ,（2）若n N, 则(55 n)(56 n)(68 n)(69 n) 用排列数符号表示 ,69n,
16、解：（1） n 17 ， m 14 （2）若n N, 则(55 n)(56 n)(68 n)(69 n) A15 ,例 3（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取 2 个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？ （2）5 人站成一排照相，共有多少种不同的站法？ （3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次，共进行多少场比赛？,解：（1）,A 5 4 20,；（2）,25,；（3）,2,5514,A 5 4 3 2 1 120A 14 13 182,新疆王 新敞奎 屯,- 6 -,课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导 课堂练习：课后作业：,1.2.1 排列（第二课时） 教学目标：掌握解排列问题的常用方法 教学重点：掌握解排列问题的常用方法 教学过程 一、复习引入：1排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取 m （
