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1、集合 1、集合的概念 （1）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个 整体是由这些对象的全体构成的集合 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、元素通常用小 写的拉丁字母表示，如a、b、c、 2、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 要注意“”的方向，不能把aA颠倒过来写. 3、集合中元素的特性 （1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确 定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元
2、素没有固定的顺序. 4、集合分类 根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集 （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 注：应区分，0等符号的含义 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：全体实数的集合.记作R 5、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合 里， 或者不在，不能模棱两可. （2）互异性：集合中的元素没有
3、重复. （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写 出） 6、子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素 都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A. 记作: ， 读作：A包含于B或B包含A 若任意xAxB,则AB 当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB或BA 有两种可能：A是B的一部分； A与B是同一集合. 7、集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个 元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素， 我们就说集合A等于集合B，记作A=B. 8、真子集：对于两个集合A与B，如果，并且
4、，我们就说集合A是集 合B的真子集，记作：A B或B A, 读作A真包含于B或B真包含A. 9、子集与真子集符号的方向. 10、空集是任何集合的子集.A 空集是任何非空集合的真子集. A 若A，则 A 任何一个集合是它本身的子集. 11、易混符号 “”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关 系.如 0与：0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合. 如 0.不能写成=0，0 12、含n个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集(非空子集) 的个数是1，非空真子集数为. 13、交集的定义 一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做 A,B的交集 记作AB（读作“A
5、交B”），即AB=x|xA，且xB 14、并集的定义 AB A B A ? 一般地，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做 A,B的并集 记作：AB（读作“A并B”），即AB =x|xA，或xB 15、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的 所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集 （complementary set）,简称为集合A的补集， 记作：CUA 即：CUA=x|xU且xA 练习 1、说出下面集合中的元素 （1） 大于3小于
6、11的偶数（2）平方等于1的数（3） 15的约数 2、下列各组对象能确定一个集合吗？ （1） 所有很大的实数. （2）好心的人. （3）1，2，2， 3，4，5 3、用列举法表示下列集合 xN|x是15的约数 （x，y）|x1，2， y1，2 4、设全集,集合,求,. 5、设全集,求,. 6、已知全集,则() 7已知集合M4,7,8,且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ） （A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 8已知集合，则等于（） (A)0,1,2,6 (B)3,7,8, (C)1,3,7,8 (D)1,3,6,7,8 9满足条件的所有集合A的个数是（） (A)1个(B)2个
7、(C)3个(D)4个 10如右图，那么阴影部分所表示的集合是（） (A) (B) (C) (D) 函数 （1） 函数的概念 1、在某变化过程中，有两个变量x、y，如果对于x在某个范围D内的 每一个确定的值，按照某种对应法则f，y都有唯一确定的值与之对应， 那么y就是x的函数，记作y=f（x），xD；x叫做自变量，D为函数的 定义域，函数值的集合叫做函数的值域； （1）、函数的定义含有三个要素，即定义域D、值域C和对应法则f. 当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值 域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件， （2）、当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别
8、相同时，这两 个函数才是同一个函数. （3）、函数的图像特征：直线与函数的图像最多有一个交点； 2、深刻理解函数的概念 【例1】、下列与函数y=x是同一函数的是 （ ） (A) (B) (C) (D) 【例2】、下面哪一个图形可以作为函数的图象 （ ） x y O x y O x y O x y O (A) (B) (C) (D) （2） 函数的定义域： 函数的定义域是函数的灵魂，对应法则是核心，研究函数的所有问 题都要在函数的定义域内进行；忽略函数的定义域常常会导致错误； 1 函数定义域的求法： （a）、根据函数的解析式：列出使函数有意义的自变量的不等式 （或）不等式组，求解即可求得函数的定
9、义域.常涉及到的依据为： 分式的分母不为0； 偶次根式中被开方数不小于0； 对数的真数大于0，底数大于零且不等于1； 零指数幂的底数不等于零； 实际问题要考虑实际意义等. 【例3】求函数下列的定义域 . 、 函数的基本性质复习 函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性 一、单调性 1定义：对于函数，对于定义域内的自变量的任意两个值，当时， 都有，那么就说函数在这个区间上是增（或减）函数。 2证明方法和步骤： （1） 设元：设是给定区间上任意两个值，且； （2） 作差：； （3） 变形：（如因式分解、配方等）； （4） 定号：即； （5） 根据定义下结论。 二、奇偶性 1定义： 如果对于f(x
10、)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫偶函数； 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫奇函数。 2奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于 原点对称。 若函数为奇函数，且在x=0处有定义，则； 3判断一个函数的奇偶性的步骤 先求定义域，看是否关于原点对称; 再判断或 是否恒成立。 4奇偶函数图象的性质 奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于 原点对称，那么这个函数为奇函数。 例1：判断下列函数的奇偶性： （1） （2） 例2.已知函数在上递增，那么的取值范围是_. 一元二次函数 1 函数叫做一元二次函数。 y=ax2+bx
11、+c 0 0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值当x 时，y有最 值当x 时，y有最 值 增 减 性 在对称轴左侧y随x的增大而y 随x的增大而 在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而 y x O 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3任何一个二次函数都可把它的解析式配方为顶点式：， 性质如下： （1）图象的顶点坐标为，对称轴是直线。 （2）最大（小）值 1 当，函数图象开口向上，有最小值，无最大值。 2 当，函数图象开口向下，有最大值，无最小值。 （3）当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。 当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。 4.两根之和、两根之积 5.零点问题 练
12、习 1.求函数 在给定区间上的最值。 2.二次函数的值域是（ ） ( 指数与指数函数 一、【知识要点】 1一般地，如果一个实数满足,那么称为的次实数根。 0的次实数根为0。式子叫作根式，其中叫做根指数，叫做被开方数。 2.我们规定， 且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义。 3. 4.一般地，函数叫做指数函数，它的定义域为R。 函数名称指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时， 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低 0 1 0 1 二、【例题
13、讲解】 例1下列说法中正确的是( ) (A)-2是16的四次方根 (B)正数的次方根有两个 (C)的次方根就是 (D) 例2 例3已知，求的值 例4曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是 ( ). ( 例5函数（）的图象是（ ） 对数及对数函数 1对数的概念： 定义：一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数 例如： ; ; 1）以10为底的对数称常用对数，记作， 2）以无理数为底的对数称自然对数，记作 基本性质： 1）真数N为正数（负数和零无对数）， 2）， 3）， 4）对数恒等式： 运算性质：如果则 1）； 2
14、）； 3）R）. 换底公式： 1）， 2） （要注意以上公式中字母取值范围）。对数运算是函数一章中的难点，又是学好对数函数的 基础，要学好它，必须具备： 1. 有指对数互化的意识 由于对数的定义是建立在指数基础上的，所以它们之间有密切关系，因此在处理指数或对数 运算时，往往将它们相互转化。 例1. 已知，求的值。 2. 有根据换底公式，换为同底的意识 对数的运算公式都是建立在同底的基础上的，但在实际的运算中，底数往往不同，而换底公 式的主要功能是将底数不相同的对数，换为相同的底数，进而可采用对数的运算公式。 例2. 计算 例3. 设，试用a，b表示log4256。 当堂检测 1、求值：，log
15、48 2、计算：（1）lg1+lg10+lg100 （2）lg0.1+lg0.01+lg0.001 3、已知，求x。 4、 化简下列各式： (1)； (2)； 2对数函数： 函数 名称 对数函数 定义函数且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时， 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图 象的影响 在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限 内，越大图象越靠高 0 1 0 1 对数函数练习题 1 (1) 的定义域为_值域为_. (2) 的定义域为_值域为_ 2 求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3) 3 (1)已知，将a、b、c、d四数从小到大排列为_ (2)若时，则m与n的关系是( ) Amn1 Bnm1 C1mn0 D1nm0 4 若a0且a1，且，则实数a的取值范围是( ) A0a1 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等 都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初
