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1、1,Email: ,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,2,本次课主要内容,格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式习题课,(一)、Green函数问题,(二)、贝塞尔函数问题,(三)、勒让得多项式问题,3,(一)、Green函数问题,1、三个格林公式,第一格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：,第二格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：,4,设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：,第
2、三格林公式：,M0,M,S,V,x,y,z,5,例1、写出稳态场方程洛平问题的解。,要求:(1)掌握三个公式的推导；,(2)稳态场方程洛平问题的解。,解:(1)泊松方程洛平问题为：,6,拉普拉斯方程洛平问题为：,例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解,7,解：由第三格林公式：,例3、求拉普拉斯方程洛平问题的解,解：由第三格林公式：,8,2、调和函数,要求:(1)掌握概念和性质的证明；,(2 ) 性质的应用(极值原理),例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。,证明：泊松方程狄氏问题为：,(a ) 解的唯一性证明：,设定解问题有两个解u1与u2,则：,9,令:U=u1-u2,则：,由极值原理有
3、： ，即,(b ) 解的稳定性证明：,设在S上给定了函数 使得： 且：,10,令:U=u1-u2,则：,由极值原理有： 即证明了稳定性。,3、泊松方程狄氏问题格林函数,要求:(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质,(2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式,(3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式,例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什么？,11,答: (1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为：,(a) 若G(M,M0)满足：,则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。,(b) 若G(M,M0)满足：,则称G(M,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。,(
4、2) 物理意义是:,12,(a) 物理意义：首先，对于方程G(M,M0 )=-(M-M0)来说，其物理意义是：空间中M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大小为G(M,M0)=1/4r；,其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电壳内M0处有正点电荷和它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)。,（b) 物理意义：首先，对于方程G(M,M0 )=-(M-M0)来说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(
5、M,M0),其大小为G(M,M0)=1/2lnr；,其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导电圈内M0处有正点电荷和它在边界上产生的感应电荷在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为G(M,M0)= 1/4lnr +v(x,y)。,13,例6、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？,答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有：,(1) 狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程。当MM0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相同。,(2) 在边界上格林函数恒等于零。,(3) 在区域V内，有：,(4) Green函数具有对称性(物理上称为互易性 )，即,14,例7、三
6、维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？,答：,例8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？,答：,例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？ 采用什么方法求？,15,答: (1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。,平面上的求法类似。,求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导体壳S，在VS内M0处放置电量为0的正点电荷，由格林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷0与感应电荷在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求：在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷，使它与0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的电势叠加等于G(M,M0).,(2) 采用镜像法
7、,例10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的格林函数表达式,16,答: (1)球域,(2)上半空间,17,(3) 上半平面狄氏问题的Green函数,(4) 圆域上狄氏问题的Green函数,(5) 第一象限上狄氏问题的Green函数,18,例11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的泊松方程狄氏问题解的积分表达式,解：(1) 球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式：,由于泊松方程狄氏问题的解为：,在球面上,19,在球域上，由于：,20,所以：,所以，球域上狄氏问题的解为：,21,(2) 上半空间狄式问题的解,泊松方程狄氏问题的解为：,由于：,22,所以上半空间泊松方程狄氏问题的解
8、为：,而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：,23,(3) 上半平面内泊松方程狄式问题解的积分表达式：,所以得：,拉氏方程狄氏解为：,24,例11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为：,解：由公式：,25,(4) 圆域上狄氏问题的解,26,解：,因为：,例12、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。,所以：,所以，狄氏解为：,27,所以：,由于：,所以，在极坐标系下，有：,从而，在极坐标下，圆域上泊松方程狄氏解为：,在极坐标下，圆域上拉氏方程狄氏解为：,28,例13、求圆域上拉氏方程狄氏解。,(1)、,解法1:(格林函数法),(2)、,选极坐标系，设圆内M0(r0,0),则：,29,利用函数幂级数展
9、开可得：,采用级数展开法计算积分*,所以，得：,30,当 时：,31,而：,所以，有：,32,1、分离变量：,代入方程得：,整理后可令比值为：,解法2:(分离变量法),33,得两个常微分方程如下：,2、求解固有值问题,34,(1) 0时，只有平凡解；,(2) =0时，,(3) 0时，令=2 得：,结合周期条件，只能取正整数。于是得固有值：,固有函数为：,35,3、求欧拉方程的解,(1)、对应于0= 0的解为：,由有限性得：D=0,于是有：,36,(2)、对应于n= n2(n=1,2.),作变换：=et 得：,由有限性得：Dn=0,于是有：,37,4、求定解,一般解为：,由边界条件(1)得：,3
10、8,所以，比较系数得：,所以，(1)的解为：,由边界条件(2)得：,所以，比较系数得：,所以，(2)的解为：,39,(5) 第一象限上狄氏问题的Green函数为：,例13、求第一象限上拉氏方程狄氏解。,解：假定定解问题为：,40,由于,其中：,对于L1:,对于L2:,41,对于L2:,42,所以，拉氏解为：,例14、求上半圆域上狄氏问题格林函数,格林函数满足的定解问题为：,43,设想在 放置电量为0的电荷,(1)对于 在 放置电量为-0的电荷，则能够使边界条件(3)满足，但不能使(2)满足。,(2)若要同时使(2)满足，对于圆周边界来说，M0的对称点为：,44,在M1放置电量为 的电荷,对于
11、M1的对称点为：,置电量为 的电荷,四个电荷的叠加满足边界条件，所以得到格林函数：,45,4、三种典型方程的基本解问题,要求: (1) 知道三种典型方程的基本解的定义、基本解表达式；,(2)能利用基本解求相应的定解问题。,例16、叙述泊松方程基本解的定义；写出其基本解；并求出 的一个特解。,答: (1)方程 的解称为泊松方程 的基本解。,(2) 基本解为：,46,(3) 特解应该为基本解与函数f的卷积。设U*为特解，则有：,注：平面泊松方程基本解为：,例17、叙述热传导方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：,答: (1) 定解问题：,47,的解，称为如下定解问题的
12、基本解。,(2) 基本解为：,(3) 定解为基本解与初始函数的卷积。设u为定解，则有：,48,注：二维、三维类似。,例18、叙述热传导方程混合问题基本解的定义；写出其基本解；在此基础上求出如下定解问题：,答: (1) 定解问题,49,的解称为如下定解问题的基本解,(2) 基本解为：,(3) 定解与基本解的关系为：,50,例20、叙述波动方程柯西问题基本解的定义；写出其基本解。,答: (1) 定解问题,51,的解称为如下定解问题的基本解,(2) 基本解为：,(3) 定解与基本解的关系为：,52,例21、叙述波动方程混合问题基本解的定义；写出其基本解。,答: (1) 定解问题,的解为有界波动方程问
13、题,的基本解。,53,(2) 基本解为：,(3) 定解与基本解的关系为：,例22、用格林函数法求定解问题,解：对应的基本解为：,54,(二)、贝塞尔函数问题,主要要求: (1) 贝塞尔方程的通解形式；,(2) 贝塞尔函数表达式及其主要性质；,(3) 贝塞尔函数的递推公式及正交定理、函数展开定理。,55,例23、写出贝塞尔方程的标准形式和通解形式,解: (1) 贝塞尔方程的标准形式为：,(2) 贝塞尔方程的通解形式：,例24、写出n阶第一类贝塞尔函数的级数形式、母函数表达形式。,56,例25、计算：,例25、写出贝塞尔函数递推公式，并计算：,例26、计算：,57,例26、证明：,例27、叙述正交
14、性定理与展开定理,(三)、勒让得多项式问题,主要要求: (1) 勒让得方程的通解形式；,(2) 勒让得多项式表达式及其主要性质；,(3)勒让得多项式的递推公式及正交定理、函数展开定理。,58,例28、写出 勒让得方程及通解形式；,(1) 当n不是整数时，方程的通解为：,59,其中Q n (x)称为第二类勒让得函数，在-1,1上无界。,(2) 当n是整数时，方程的通解为：,例29、写出 勒让得多项式的几种主要表示形式,60,例29、写出P n (0n5) 的勒让得多项式表达式,例30、证明：,例31、求证：,例32、求证：当mn为整数时，有：,61,例33、写出勒让得多项式的递推公式及正交定理、函数展开定理。,例34、计算：,例35、计算：,例36、将f (x)=x2+x3按勒让得多项式展开.,62,作业,该课件中涉及的例题,63,Thank You !,
