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1、随机服务系统理论,排队论及其应用,排队论,排队系统描述 基本概念 M / M / 1 模型 M / M / S 模型,第一节 排队系统描述,顾客要求服务的对象统称为“顾客” 服务台把提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”,各种形式的排队系统,随机服务系统,排队论所要研究解决的问题,面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务设施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾，就是随机服务系统理论
2、排队论所要研究解决的问题。,第二节 基本概念,一、排队系统的描述 二、排队系统的主要数量指标,一、排队系统的描述,(一)系统特征和基本排队过程 (二)排队系统的基本组成部分 （三)排队系统的描述符号,(一)系统特征和基本排队过程,相似的特征及数学抽象： (1)请求服务的人或者物顾客； (2)为顾客服务的人或者物，即服务员或服务台； (3)顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供服务的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。,基本排队过程 可以用图 6表示。从图 6可知，每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统，首先加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务
3、，获得服务的顾客立即离开。,(二)排队系统的基本组成部分,排队系统由3个部分组成 1、输入过程 2、服务规则 3、服务台,1输入过程,这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流。一般可以从3个方面来描述一个输入过程。 (1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。 (2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，是单个到达，还是成批到达。 (3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱
4、尔朗分布等若干种。,2服务规则,这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。一般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。 (1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都被先到的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。,(2)等待制 这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则： 1)先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。 2)后到先服务。 3)随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客接受服务。 4)优先权服务。,(3)混合制 这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许
5、排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种： 1)队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是有限的。 2)等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离去，并不再回来。 3)逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。,3服务台,(1)服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，服务台有：单队单服务台式；单队-多服务台并联式;多队多服务台并联式；单队多服务台串联式；单队多服务台并串联混合式，以及多队多服务台并串联混合式等等。 (2)服务方式。这是
6、指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。 (3)服务时间的分布。在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量。,（三)排队系统的符号表述,描述符号：/ 各符号的意义： 表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号： M表示到达的过程为泊松过程或负指数分布； D表示定长输入； EK表示K阶爱尔朗分布； G表示一般相互独立的随机分布。,表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。 表示服务台(员)个数：“1”表示单个服务台，“s”(s1)表示多个服务台。 表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。如系统有K个等待位子，则，0K，当K=0时，说明系统不允许等待，即为
7、损失制。K=时为等待制系统，此时一般省略不写。K为有限整数时，表示为混合制系统。,表示顾客源限额，分有限与无限两种，表示顾客源无限，一般也可省略不写。 表示服务规则，常用下列符号 FCFS：表示先到先服务的排队规则； LCFS：表示后到先服务的排队规则； PR：表示优先权服务的排队规则。,例如，某排队问题为MMS/FCFS，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；服务时间为负指数分布；有s(s1)个服务台；系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。 某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的前3个符号。例如，某排队问题为MMS， 如不特别说明则均理解为系统等待空间容量
8、无限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等待制系统。,二、排队系统的主要数量指标,描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有： 1队长和排队长(队列长) 队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。队长和排队长一般都是随机变量。,2等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间。等待时间是个随机变量。从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。 3. 忙期和闲期 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。这是个随机变量，
9、是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度。与忙期相对的是闲期,即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。,4数量指标的常用记号 (1)主要数量指标 L平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数 的期望值； Lq平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值； W平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值； Wq平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。,(2)其他常用数量指标 s系统中并联服务台的数目； 平均到达率； 1平均到达间隔； 平均服务率； 1/平均服务时间； N稳态系统任一时刻的状态（即系统
10、中所有顾客数）； U任一顾客在稳态系统中的逗留时间； Q任一顾客在稳态系统中的等待时间；,服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，般有=(s)，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当趋近于0时，表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务台有大量的空闲时间；如服务强度趋近于1，那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。我们一般都假定平均服务率大于平均到达率，即/1,否则排队的人数会越来越多，以后总是保持这个假设而不再声明。,李特尔公式,在系统达到稳态时，假定平均到达率为常数，平均服务时间为常数1/，则有下面的李特尔公式： L= W Lq= Wq W=
11、 Wq +1/ L= Lq +/,排队系统运行情况的分析,排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标： 系统中顾客数(队长)的期望值L； 排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； 顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W； 顾客排队等待时间的期望值Wq。,第三节 MM1模型,模型的条件是： 1、输入过程顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则单队，且队长没有限制，先到先服务； 3、服务机构单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的指数分布 。,对于MM
12、1模型有如下公式：,例1,某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊治时间服从指数分布，每个病人平均需要15分钟。病人按泊松分布到达，平均每小时到达3人。试对此排队队系统进行分析。 解 对此排队队系统分析如下： （1）先确定参数值：这是单服务台系统，有： 故服务强度为：,（2）计算稳态概率：这就是急诊室空闲的概率，也是病人不必等待立即就能就诊的概率。 而病人需要等待的概率则为：这也是急诊室繁忙的概率。,（3）计算系统主要工作指标：急诊室内外的病人平均数：急诊室外排队等待的病人平均数：病人在急诊室内外平均逗留时间：病人平均等候时间：,（4）为使病人平均逗留时间不超过半小时，那么平均服务时间应减少多少？
13、由于代入=3，解得5，平均服务时间为：15123min即平均服务时间至少应减少3min,(5)若医院希望候诊的病人90% 以上都能有座位,则候诊室至少应安置多少座位? 设应该安置个座位,加上急诊室的一个座位,共有+1个。要使90% 以上的候诊病人有座位，相当于使“来诊的病人数不多于+1个”的概率不少于90%，即,两边取对数（x2）lg lg0.1因 1，故所以 6即候诊室至少应安置6个座位。,第四节 M / M / S 模型,此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台，各服务台的工作相互独立，服务率相等，如果顾客到达时，S个服务台都忙着，则排成一队等待，先到先服务的单队模型。 整个系统的平
14、均服务率为s，*/s，（*1）为该系统的服务强度。,1、状态概率,2、主要运行指标3、系统状态N S的概率,例2 承接例1，假设医院增强急诊室的服务能力，使其同时能诊治两个病人，且平均服务率相同，试分析该系统工作情况，并且，例1、例2的结果进行比较。,解 这相当于增加了一个服务台，故有： S=2,=3人/h，=4人/h,病人必须等候的概率,即系统状态N2的概率：,表1 两个系统的比较,例3 某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，平均到达率为每分钟0.9人，挂号员服务时间服从指数分布，平均服务率每分钟04人，现假设就诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然系统的容量和顾客源是不
15、限的，属于M/M/1型的排队服务模型。求：该系统的运行指标 解,如果在例3中，就诊者到达后在每个挂号窗口各自排成一队，即排成3队，且进入队列后不离开，各列间也互不串换，这就形成3个队列，而例3中的其它条件不变。假设每个队列平均到达率相等且为：1230.9/30.3（人/分钟）这样，原来的M/M/3系统就变成了3个M/M/1型的子系统。 现按M/M/1型计算主要运行指标，并与上面的例子进行对比分析，结果见表62,表2 两个模型的比较,练 习,1思考题 （1）排队论主要研究的问题是什么？ （2）试述排队系统的基本组成部分。 （3）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念。
16、（4）试述队长和排队长、等待时间和逗留时间、忙期和闲期等概念。,练 习,2设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人的到达过程为泊松流，平均到达时间间隔为20min，诊断时间服从负指数分布，平均需12min，求： (1)病人到来不用等待的概率； (2)门诊部内顾客的平均数； (3)病人在门诊部的平均逗留时间； (4)若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1h，则院方将考虑增加值班医生。问病人平均到达率为多少时，医院才会增加医生?,练 习,3某售票处有3个售票口，顾客的到达服从泊松分布，平均每分钟到达= 09人，3个窗口售票的时间都服从负指数分布，平均每分钟卖给= 0.4人，设可以归纳为MM3模型，试求： (1)整个售票处空闲的概率； (2)平均队长； (3)平均逗留时间； (4)平均等待时间； (5)顾客到达后的等待概率。,
