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1、一、概率密度的概念与性质,二、常见连续型随机变量的分布,三、小结,第三节连续型随机变量及其概率密度,一、概率密度的概念与性质,1.概率密度函数的定义,存在,概率密度函数,简称概率密度.,连续型随机变量的分布函数是连续函数.,2.概率密度函数的性质,反之，满足（1）（2）的一个可积函数f(x)必是某连续型随机变量X的概率密度，因此，常用这两条性质检验f(x)是否为概率密度。 几何意义：曲线y= f(x)与x 轴之间的面积等于1,同时得以下计算公式,几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率Px1Xx2等于区间(x1，x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积,1,3概率密度f(x)与分布函数F(
2、x)的关系 (1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分布函数为,(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F(x).,注意,对于任意指定值 a,连续型随机变量取 a的概,率等于零.,即,证明,连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关,注意,若X是连续型随机变量，, X=a 是不可,能事件，,则有,连 续 型,若 X 为离散型随机变量,离 散 型,例1,其他.,(3) 求,解,得,解得,其他.,其他.,(3),即,练习 设随机变量X具有概率密度,(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求PX0.1。,解: (1) 由于 , 解得k=3.,
3、于是X的概率密度为,(2),例2 确定常数A，B使得函数,为连续型随机变量X的分布函数,并求出X的概率密度.,解: 由分布函数的性质知,又由连续型随机变量的分布函数的连续性知F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以：A=1/2. 于是X的分布函数为：,X的概率密度为,所以B=1.,二、常见连续型随机变量及其概率分布,(一)均匀分布,其他,概率密度函数图形,分布函数,均匀分布的意义,例3 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率.,解：设A为乘客候车时间超过10分钟，X为乘客于
4、某时X分钟到达，,例4 设随机变量X 服从区间-3，6上的均匀分布，试求关于t 的方程,有实根的概率,解：随机变量 的概率密度为,方程有实根，当且仅当,即，,解得，,是常数，则称X服从参数为,(二) 指数分布,其他.,记作,的指数分布.,随机变量X的分布函数为,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,例6 电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？,解,有,指数分布的重要性质 :“无记忆性”.,该性质称为无记
5、忆性.,的寿命,那么上式表明:,与从开,这,就是说,练习 设打一次电话所用时间X （单位：分钟）是以1/10 为参数的指数型随机变量. 如果某人刚好在你前面走进公用电话间，求你需要等待10分钟到20分钟之间的概率,解：依题意，可知X 的密度函数为,令A=某人等待时间为10到20分钟 ，则,（三）正态分布,正态分布的概率密度函数,正态分布.,性质:,有,轴平移,而不改变其形状,可见正态分布的概率密,为位置参数.,称轴不变,而形状在改变,图形越高越瘦,图形越矮越胖.,正态分布的应用与背景,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测,量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;,正常,情况下生产的产品尺
6、寸、,直径、,长度、,重量高度,等都近似服从正态分布.,即有,标准正态分布的图形,性质,证明,解,例7,证,得,则,由此知,定理1,正态分布的计算,原函数不是,初等函数,转化为标准正态分布查表计算,有,例8 设X N(1.5，22)，求P-1X2。 解:,查表得：(3-c)/2=0.43, 即c=2.14,例9 设XN(3,4)，求数c，使得 PXc=2PXc. 解:,从而，,PXc=1-PXc,=2PXc,因此，PXc=1/3,=1/3,例10,将一温度调节器放置在贮存着某种液体的,容器内.,是一个随机变量,(2) 若要求保持液体的温度至少,解,(1) 所求概率为,即,亦即,故需,例11,说明：X N(, 2)落在(-3, +3)内的概率为0.9974, 这一事实称为“3规则” 。,2）P|X-|2,3）P|X-|3,=2(2)-1=0.9544,=2(3)-1=0.9974,=20.8413-1,对于标准正态随机变量,的定义.,三、小结,2.常见连续型随机变量的分布,正态分布有极其广泛的实际背景, 是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量.,3.正态分布是概率论中最重要的分布,二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分布所以，无论在实践中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布.,
