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1、第一章,北 师 大 版 九 年 级 数 学 知 识 点 汇 总 特殊平行四边形,1,一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补。,2,平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角 形。 平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S 平行四边形=底高 二、
2、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。 菱形的四条边都相等。 菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形 分成四个全等的直角三角形。 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S 菱形=底高；S 菱形=对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。 矩形的四个角都是直角。 矩形的对角线相等且互相平分，
3、两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积：S 矩形=底高,四、正方形 1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。 正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直 角三角形。 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。 3、判定：（
4、1）有一组邻边相等的矩形是正方形。,（2）对角线互相垂直的矩形是正方形。,正方形=菱形+矩形,有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 4、面积：S 正方形=边长的平方；S 正方形=对角线乘积的一半 五、中点四边形 1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形 2、中点四边形：一般四边形平行四边形；平行四边形平行四边形；菱形矩形；矩形菱形； 正方形正方形。,第二章一元二次方程 一、定义：我们把形如ax2 bx c o(a,b, c为常数，a o) 的方程，称为一元二次方程。其中ax2 ， bx ， c 分别称为二次项，一次项和常数项， a ， b 分别称为二次项系数和一次
5、项系数。 二、解一元二次方程的方法 1、配方法：移项二次项系数化为 1配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）开平方（有正 负两个结果）求解写根。 2、公式法：化为一般形式（ ax2 bx c o ）找出a ， b ， c （记得带上符号）代入根的判别式,2a,b b2 4ac,（ b2 4ac ）代入求根公式 x ,（ b2 4ac 0 ）求解写根。,3、因式分解法：当一元二次方程的一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。 （1）提公因式法： ac bc 0 c(a b) 0 公式法：平方差公式： a2 b2 (a b)(a b) 完全平方公式： a2 2ab b
6、2 (a b)2 十字相乘法： x2 ( p q)x pq (x p)(x q),3,三、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程ax2 bx c o(a o) 当b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根。 当b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根。 当b2 4ac 0 时，方程没有实数根。 四、一元二次方程根与系数之间的关系（韦达定理）,1212,1 2,aa,如果方程ax2 bx c o(a o) 有两个实数根 x ， x ，那么 x x b ， x x c,五、应用一元二次方程（1、几何面积问题；2、销售问题） 审题寻找数量关系和等量关系设未知数（直接假设和间接假设）列一元二
7、次方程解方程 检验作答。,第三章,概率的进一步认识,一、列表法和化树状图法 1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能 的结果，通常采用列表法。 2、画树状图法：当一次实验涉及 3 个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结 果，通常采用画树状图法。,n,4,二、频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件 A 发成的频率 m 稳定于某个常数 P ，那么事,件 A 发生的概率 P A P,第四章,图形的相似,一、成比例线段,bd,1、定义：四条线段a,b,c, d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 a c ，那
8、么这四条线段a,b,c, d 叫,bd,做成比例线段，简称比例线段。 2、性质：（1）基本性质：如果 a c ，那么ad bc ； bd 如果ad bc a,b, c, d都不等于0 ，那么 a c,m n,（2）等比性质：如果 a c = bd,b d n 0 ，那么,a c ma,b d nb,（3）合比性质：如果 a c ，那么 bd,b,d,a b,c d,，,b,5,d,a bc d,二、平行线分线段成比例 1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 三、相似多边形 1、定义：各角分别相等，各边成比例
9、的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比,2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 四、相似三角形 1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方,五、黄金分割：点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,ABAC, AC BC ，如果 AC BC ，那
10、么称线段,AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比， 即 AC : AB 0.618 :1 六、位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P , P 所在的直线都经过同一点O ，且有OP = k OP k 0 ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤：（1）尺规作图法： 确定位似中心；确定原图形中的关键点关于中心的对应点；描 出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标 都乘于同 一个数k
11、k 0，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它 们的相似比为 k,6,7,第五章投影与视图 一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平 面叫做投影面 1、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下 形成的影子就是中心投影 2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影） 就是平行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影 二、三视图 1、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图 2、三视图概念：（1）主视图：从正面得
12、到的视图叫做主视图，反映物体的长和高 左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽 俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽 3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正 主视图和左视图的高平齐 左视图和俯视图的宽相等,第六章反比例函数 一、定义：一般的，形如 y k k为常数，k 0 的函数，叫做反比例函数。其中 x 是自变量， y 是函数。,x 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数,2、 y kx1 ；3、 xy k,二、表达式：1、 y k ； x 三、图象与性质,1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质：,3、反比例 函数比例系数k 的几何意义,如图，
13、在反比例函数 y k 上任取一点 P x, y ，过这一点分别作 x 轴， y 轴,x 的垂线 PE ， PF 与坐标轴围成的矩形 PEOF 的面积S xy k,4、对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点 （2）轴对称：对称轴为直线 y x 和直线 y x,8,9,第七章,直角三角形的边角关系,一、锐角三角函数,在 RtABC 中， C 90 ，则A 的三角函数为,二、特殊角的三角函数值,三、解直角三角形,1、直角三角形的边角关系：（1）两锐角关系： A B 90 （2）三边关系： a2 b2 c2 （勾股定理） （3）边角关系： sin A cos B a ， cos A sin B b
14、,ba,cc tan A a ， tan B b,2、解直角三角形的类型和解法,已知条件,图形,解法,已知一直角边和一个锐角 a, A,sin Atan A,B 90 A, c a ,b a 或b c2 a2 ,已知斜边和一个锐角,B 90 A, a c sin A,b c cos A或b c2 a2 ,斜边,A,B,b,对 a 边 C,c,斜边,A,C,B,b 邻边,对 a 边,c,第八章二次函数 一、概念：一般的，若两个变量 x ， y 之间的对应关系可以表示成 y ax2 bx c a,b,c是常数, a o 的形式，则称 y 是 x 的二次函数，其中， x 是自变量， a,b,c 分别
15、是函数解析式的二次项系 数、一次项系数和常数项 二、二次函数图象及其性质 1、图像与性质,10,2、抛物线与a,b,c 的关系,三、二次函数表达式的确定。确定二次函数表示的方法仍是待定系数法，有以下三种方法： 1、一般式：若已知抛物线过三点，一般设函数表达式为 y ax2 bx c a o 2、顶点式：若已知抛物线的顶点是h, k ，可设函数表达式为 y a x h2 k a 0 3、交点式：若已知抛物线与 x 轴两个交点 x1,0 ， x2 ,0 ，可设函数表达式 y a x x1 x x2 a 0 四、二次函数的平移规律,五、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y ax2 bx c a
16、 o 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点；有一个交点；没有交 点，当图象与 x 轴有交点时，令 y 0，解方程ax2 bx c 0 就可以求出与 x 轴交点的横坐标,11,第九章,圆,一、圆的有关概念和性质 1、圆的基本概念： 圆：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点是圆心，定长是半径 弦、直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧 等圆、等弧：能够重合的圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧 圆心角：顶点在圆心，端点在圆上的角叫做圆心角 圆周角：定点和端点都在圆上的角叫做圆周角 2、圆的性质 （1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心 是
