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1、初三数学 圆的性质定理 1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴. 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 4、垂径定理的应用： 用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理； 在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这 个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段. 例 1、如图，已知以点 O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦 AD 交小圆于 B、C. (1)求证：AB=CD (2)如果 AD=6c
2、m，BC=4cm，求圆环的面积. 1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半. 3.推论：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等. 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径. 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 4圆的内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形， 这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 例 2、如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，
3、ODBC 于 E，交 BC 于 D.若 BC=8，ED=2，求 O 的半径.,1、如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 P，CD=10cm，APPB=15，那么O 的半径是（ ）,1,2、圆的半径为 13cm，两弦 ABCD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦 AB、CD 的距离是（ ） A7cm B17cm C12cm D7cm 或 17cm 3、如下图所示，AB 是O 的一条固定直径，它把O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦 CDAB，OCD 的平分线交O 于点 P，当点 C 在上半圆（不包括 A、B 两点）移动时，点 P（ ） A到 CD 的距离保持不变 B
4、位置不变 C平分D随点 C 的移动而移动,4、如上中图，BD 是O 的直径，弦 AC、BD 相交于点 E，则下列结论不成立的是（ ） AABD=ACD BCBAE=BDC DABD=BDC 5、如上右图，O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，EOD=40，则DCF 等于（ ） A80 B50 C40 D20 6、如下图，A、B、C 是O 上三点，ACB=40，则ABO 等于 度,7、如上左二图，ABC 的顶点都在O 上，C=30，AB=2cm，则O 的半径为 cm 8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P 是经过 O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动 点（P 与 O、A、B
5、 不重合），则OAB= ，OPB= 9、如右上图，ABC 内接于O，B=OAC，OA=8cm，则 AC= cm 10、如图，ABC 内接于O，BAC=120，AB=AC，BD 为O 的直径，AD=6，则 BC= ,2,11、如图，O 中的弦 AB、CD 互相垂直于 E，AE=5cm，BE=13cm，O 到 AB 的距离为,求O 的,半径及 O 到 CD 的距离,12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为 7.2m，拱顶高出水面 2.4m，现有一艘宽 3m，船 舱顶部为正方形并高出水面 2m 的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由,13、如图，AB 为O 的直径，BD
6、是O 的弦，延长到 C，使 BDDC，连接 AC 交O 于点 F，点 F 不与 点 A 重合 （1）AB 与 AC 的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断ABC 属于哪一类三角形，并说明理由,一、确定圆的条件 (1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作圆，只要圆心确定下来，半径就随之 确定了下来所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为半径就可以作一个 圆由于圆心是任意的因此这样的圆有无数个如图(1),3,(2)已知点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径因此圆心到 A、B 的距离相等根据 前面提到过的线段的垂直平分线的性质可
7、知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则 圆心应在线段 AB 的垂直平分线上在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都能满足到 A、B 两点的距离 相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到 A 的距离即为半径，圆就确定下 来了由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个如图(2) (3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等因为 到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离相等的点的集合是线段 BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C
8、 三点的距离相等，就是所作圆的圆心 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆 过不在同一条直线上的三点确定一个圆 2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点， 叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点， 这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆 3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法,例 1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样 的特点？
9、（1） （2） （3）,4,例 3、如图，点 A、B、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输 水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由 1、下列关于外心的说法正确的是（ ） A外心是三个角的平分线的交点 B外心是三条高的交点 C外心是三条中线的交点 D外心是三边的垂直平分线的交点 2、下列条件中不能确定一个圆的是（ ） A圆心和半径 B直径 C三角形的三个顶点 D平面上的三个已知点 3、三角形的外心具有的性质是（ ） A到三边的距离相等B到三个顶点的距离相等 C外心在三角形外 D外心在三角形内 4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（ ） A重心 B垂心 C外心 D无法确定 5、如图所示，在 55 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）,A 点 P B 点 Q C 点 R D 点 M 6、如图，是ABC 的外接圆，BAC=30，BC=2 cm ，则OBC 的面积是 .,7、直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆半径是 8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用， 将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可， 问应怎么样找到圆心和半径？,5,6,
