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1、高中数学2.3圆的方程2.3.4圆与圆的位置关系优化训练新人教B版必修22.3.4 圆与圆的位置关系5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )A.相离 B.外切 C.相交 D.内切解析：计算两圆心距d=,而2-1=1d3=2+1,两圆相交.答案：C2.已知两圆的半径分别为方程x2-7x+12=0的两个根,如果O1O2=8,则两圆的位置关系是( )A.外离 B.外切 C.内切 D.相交解析：由方程x2-7x+12=0得两个根分别为3或4，故两圆半径之和为7，而两圆心之间的距离为8，根据两圆的位置关系知这两圆外离.答案：A3.若a2+b
2、2=1，则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系为_.解：圆(x-a)2+y2=1的圆心(a,0),半径r1=1;圆x2+(y-b)21,圆心(0,b),半径r2=1.圆心距d=1.|r1-r2|dr1+r2=2,两圆相交.答案：相交10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.两圆x2+y2=4和x2+y2-2x+4y+1=0关于直线l对称,则l的方程为( )A.2x-4y-5=0 B.2x-3y+1=0C.2x-y+1=0 D.x+3y-1=0解析：由题意知两圆的圆心分别为C1(0,0)、C2(1,-2).若要两圆关于直线l对称,则C1、C2关于l对称.因为C1C2的中点
3、为(,-1),=-2.所以l的方程为y+1=(x-),即2x-4y-5=0.答案：A2.若集合A=(x,y)|x2+y216,B=(x,y)|x2+(y-2)2a-1且AB=B,则a的取值范围是( )A.a1 B.a5 C.1a5 D.a5解析：由AB=B知BA,故0a-12.答案：C3.动圆M与定圆C：x2+y2+4x=0相外切，且与直线l:x-2=0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为( )A.y2-12x+12=0 B.y2+12x-12=0C.y2+8x=0 D.y2-8x=0解：设动圆M的圆心M(x,y)，半径为r.动圆M与圆C相外切，|MC|=r+2.又圆M与直线x-2=0相切，r=2
4、-x,d(M,C)=4-x.(x+2)2+y2=4-x,整理得y2+12x-12=0.答案：B4.若圆x2+y2=4与x2+y2-2ax+a2-1=0相内切,则a=_.解析：两圆的圆心和半径分别为O1(0,0),r1=2,O2(a,0),r2=1,由两圆内切可得d(O1,O2)=r1-r2,即|a|=1,所以a=1.答案：15.已知动圆M与y轴相切且与定圆A：(x-3)2+y2=9外切，求动圆的圆心M的轨迹方程.解:设点M(x,y),动圆的半径为r，由题意,得|MA|=r+3且r=|x|，=|x|+3.当x0时，两边平方化简得y2=12x(x0)；当x0时，两边平方化简得y=0(x0).30分
5、钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是( )A.外离 B.外切 C.相交 D.内切解析：两圆的圆心和半径分别为O1(1,0),r1=1;O2(0,-2),r1=2,即|O1O2|=,即2-12+1,所以两圆相交.答案：C2.内切两圆的半径长是方程x2+px+q=0的两根,已知两圆的圆心距为1,其中一圆的半径为3,则p+q等于( )A.1 B.5 C.1或5 D.以上都不对解：由x2+px+q=0,得因为有一圆半径为3,不妨设x2=3,因为两圆内切,所以|x1-3|=1.所以x1=4或2.当x1=4时,p=-7,q=12;p+q=5.当x1=
6、2时,p=-5,q=6,p+q=1.答案：C3.圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有( )A.2条 B.3条 C.4条 D.0条解：由x2+y2+4x-4y+7=0,得圆心和半径分别为O1(-2,2),r1=1.由x2+y2-4x-10y+13=0,得圆心和半径分别为O2(2,5),r1=4.因为d(O1,O2)=5,r1+r2=5,即r1+r2=d(O1,O2),所以两圆外切,由平面几何知识得两圆有3条公切线.答案：B4.已知0r,则两圆x2+y2=r2与(x-1)2+(y+1)2=2的位置关系是( )A.外切 B.相交 C.外离 D.
7、内含解析：设圆(x-1)2+(y+1)2=2的圆心为O,则O(1,-1).两圆的圆心距离d(O,O)=.显然有|+r.所以两圆相交.答案：B5.已知圆C1:x2+y2-4x+6y=0和圆C2:x2+y2-6x=0交于A、B两点,则AB的垂直平分线方程为( )A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0解析：由平面几何知识,知AB的垂直平分线即为两圆心的连线,把两圆分别化为标准式可得两圆心分别为C1(2,-3)、C2(3,0),因为C1C2斜率为3,所以直线方程为y-0=3(x-3),化为一般式可得3x-y-9=0.答案：C6.若圆(x-a)2+(y-b)
8、2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a、b应满足的关系式是( )A.a2-2a-2b-3=0 B.a2+2a+2b+5=0C.a2+2b2+2a+2b+1=0 D.3a2+2b2+2a+2b+1=0解析：利用两圆的公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4的圆心即可求得.把两圆分别化成一般式方程,作差可得公共弦方程为(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,它经过圆心(-1,-1),代入后有a2+2a+2b+5=0.答案：B7.两圆相交于两点(1,3),(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+C=0上,则m+C的值为_.解析：由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心的
9、连线,可得=1,所以m=-3.又两公共点(1,3)和(-3,-1)的中点(-1,1)在直线x-y+C=0上,所以C=2.所以m+C=-1.答案：-18.集合A=(x，y)|x2+y2=4，B=(x，y)|(x-3)2+(y-4)2=r2，其中r0，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是_.解析：两圆有内切或外切两种情况.答案：3或79.求半径为1，且与圆x2+y2=4相切的动圆圆心的轨迹方程.解：设动圆圆心为M,若两圆内切,则d(M,O)=|2-1|=1,由圆的定义M点轨迹是以O为圆心,1为半径的圆,圆的方程为x2+y2=1;若两圆外切,则d(M,O)=|2+1|=3,由圆的定义M点轨迹是以O为
10、圆心,3为半径的圆,方程为x2+y2=9.这两种情况也可合并为(x2+y2-1)(x2+y2-9)=0.10.已知圆C1:x2+y2+2x+6y+9=0和圆C2:x2+y2-6x+2y+1=0.求C1、C2的公切线方程.解：圆C1的圆心坐标C1(-1,-3),r1=1,C2(3,-1),r2=3,因为|C1C2|r1+r2,所以两圆外离,有四条公切线.易求得C1C2的方程为x-2y-5=0,设公切线的交点为M(2y0+5,y0).由,即,得y0=-4或y0=.所以M(-3,-4)或M(0,).(1)当M的坐标为(-3,-4)时,设圆的两外公切线方程为y+4=k(x+3),即kx-y+3k-4=0,由点C1到其距离等于1,可得=1,解得k=0或k=.所以两外公切线方程为y+4=0或4x-3y=0.(2)当M的坐标为(0,)时,设圆的两内公切线方程为y+=kx,即2kx-2y-5=0,由点C1到其距离等于1,可得=1,解得k=.所以内公切线方程为3x+4y+10=0,但由两圆外离知道内公切线有两条,所以另一条斜率不存在,则方程为x=0.综上,所求的公切线的方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0或x=0.4 / 4
