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1、高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系优化训练新人教B版必修22.3.3 直线与圆的位置关系5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知直线x=a(a0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.2解析：考查直线与圆的位置关系及平面几何知识.结合图形,可知直线x=a要与圆(x-1)2+y2=4相切,则a=3或-1,因为a0,所以a=3.答案：C2.直线l:4x-3y+5=0与圆C:x2+y2-4x-2y+m=0无公共点的条件是m属于( )A.(-,0) B.(0,5) C.(1,5) D.(1,+)解析：由圆心(2,1)到直线l:4x-3y+5=
2、0的距离大于圆的半径可得.答案：C3.过点M(3，2)作O：x2+y2+4x-2y+4=0的切线方程是_.解析：作图知,所求切线不可能垂直x轴,故切线斜率必定存在.设切线方程为y-2=k(x-3)，即kx-y+2-3k=0,由=1,得k=或k=0,代入即可求得.答案：y=2或5x-12y+9=010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知直线l:ax-y-b=0,圆C:x2+y2-2ax-2by=0,则l与C在同一坐标系中的图形只可能是( )图2-3-1解析：考查对直线与圆的方程的认识,直线与圆位置关系的判断.注意到圆的方程的特点,易知圆C过原点,所以A、C均不正确;再由B、D两选项和圆心、
3、直线的斜率知B正确.答案：B2.直线m(x+1)+n(y+1)=0(mn)与圆x2+y2=2的位置关系是( )A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定解析：方法一,考查直线与圆的位置关系的判定方法.直线方程可化为mx+ny+m+n=0.由于圆心(0,0)到该直线的距离为,又0(mn),dr,即直线与圆相交.方法二:易知直线m(x+1)+n(y+1)=0(mn)恒过点(-1，-1)，且点(-1，-1)在圆上，又mn，所以直线与圆不相切.所以直线与圆相交.答案：C3.过点(2,1)的所有直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线方程为( )A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0C
4、.3x-y-1=0 D.3x+y-5=0解析：考查直线与圆的位置关系及圆的性质.直线被圆截得的最长弦应是直径,故问题即求过(2,1)和圆心的直线方程.圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=5,直线被圆截得的弦最长时,应过圆心(1,-2).由两点式,得直线方程为3x-y-5=0.答案：A4.已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).(1)证明不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.(1)证明:直线过定点(3，1)，(3-1)2+(1-2)2=525,点(3，1)在圆的内部.不论m为何
5、实数，直线l与圆恒相交.(2)解:从(1)的结论知当直线l过定点M(3，1)且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截得的弦长d(A,B)最短，由垂径定理知d(A,B)=,此时kl=.由=2,得m=,代入得l的方程为2x-y-5=0.5.已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(mR).(1)求证：不论m为何值，圆心总在同一条直线l上.(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离?(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等.(1)证明:将圆的方程配方得(x-3m)2+y-(m-1)2=25.设圆心为(x,y),则消去m得l:x-3y-3=0.圆心
6、恒在直线l:x-3y-3=0上.(2)解：设与l平行的直线是l:x-3y+b=0,圆心(3m,m-1)到直线l的距离为d=.半径r=5,当dr，即b时，直线与圆相交；当d=r，即b=时，直线与圆相切；当dr时，即b或b时，直线与圆相离.(3)证明:设对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1:x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，则弦长=与m无关，故截得的弦长相等.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程是( )A.x+-2=0 B.x+-4=0C.x-+4=0 D.x-+2=0解：点P(1,3)在圆x2+y2-4x=0上,所以点P为切
7、点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.又因为圆心为(2,0),所以k=-1,解得k=,所以切线方程为x-y+2=0.答案：D2.已知直线l过点(-2，0)，当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A.() B.()C.() D.()解析：圆x2+y2=2x可化为(x-1)2+y2=1,当直线l的斜率不存在时,显然直线与圆不相交,不合题意;当直线的斜率存在时,设直线的点斜式方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.因为直线和圆相交,故圆心到直线的距离小于半径,即1,解得k2,所以k().答案：C3.过点(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对
8、的圆心角最小时，直线l的斜率k=_.解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线与圆心(2,0)和点(1,)垂直,由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1,)的直线的斜率为,故所求直线的斜率为.答案：4.直线3x+y-23=0截圆x2+y2=4所得的弦长是( )A.1 B. C.2 D.解析：本题考查点到直线的距离公式和圆的弦长公式.圆心(0,0)到直线=0的距离为,由圆的半径为2,结合圆中弦长公式可得:所求圆的弦长为=2.答案：C5.直线l过点P(0，2)，且被圆x2+y2=4截得的弦长为2，则直线l的斜率为( )A. B. C. D.解析：设直线l:y-2=kx,即kx-y+2=0，
9、由题意,得2+12=22,解得k=.答案：D6.若点P(x0,y0)是圆x2+y2=r2内一点,则直线x0x+y0y=r2和该圆的位置关系是_.解析：考查点与圆、线与圆的位置关系的判断方法.由已知x02+y02r2,又(0,0)到x0x+y0y=r2的距离为d=r,直线与圆相离.答案：相离7.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B,APB=60,则动点P的轨迹方程为_.解：因为APB=60,故APO=30,设P(x,y),因为sinAPO=,即,所以x2+y2=4.答案：x2+y2=48.已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为，求圆
10、C的方程.解：设圆心坐标为(3m，m),圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，圆心到直线y=x的距离为|m|.由半径、弦心距的关系得9m2=7+2m2,m=1.所求圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=3,(x+3)2+(y+1)2=3.9.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?解：以台风中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示坐标系,其中,取10 km为长度单位.这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9.轮船航线所在直线l的方程为4x+7y-28=0,问题转化为圆O与直线l有无公共点问题.由于d=3.5半径3,所以这艘轮船不用改变航线,不会受到台风影响.5 / 5
