《高中数学1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3.1直线与平面垂直教案新人教B版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3.1直线与平面垂直教案新人教B版必修2（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.3.1 直线与平面垂直示范教案教学分析本节教材给出了两直线垂直和直线与平面垂直的定义，并讨论了判定定理和性质在教学过程中，要注意调动学生的学习积极性，留出足够思考时间，培养学生的思维能力值得注意的是尽量使用信息技术，以便突破难点对于判定定理的证明不作要求，仅供学习有余力的同学参考三维目标1掌握两直线垂直和直线与平面垂直的定义，培养学生的空间想象能力2掌握直线与平面垂直的判定定理及其推论，提高学生的应用能力重点难点教学重点：直线与平面垂直的判定定理及其推论教学难点：归纳判定定理，证明推论2.课时安排1课时导入新课设计1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗
2、杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线BC也是垂直的设计2.(实例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明如下图，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直推进新课(1)阅读教材，说说空间中两直线垂直的定义(2)想想看，如果A，B是空间中的两点，那么在空间中线段AB的垂直平分线有多少条？
3、AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形(如下图)？固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转，l的轨迹是怎样的图形？(3)归纳空间直线与平面垂直的定义(4)直线l平面，直线m，则l与m垂直吗？讨论结果：(1)如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直(2)容易发现，空间中线段AB的所有垂直平分线构成的集合是一个平面(3)如果一条直线(AB)和一个平面()相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足垂线上任意一点到垂足间的线段，叫
4、做这个点到这个平面的垂线段垂线段的长度叫做这个点到平面的距离 (4)如下图，如果la，垂足为O，直线m是平面内不过点O的任意一条直线，那么在内过点O，可引直线ma，根据空间直线与平面垂直的定义，由la可得lm.这就是说：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如上下图所示直线l和平面互相垂直，记作l.(1)用直线与平面垂直的定义，直接检验直线是否与平面垂直是困难的.想想看，判定直线与平面垂直是否有容易操作又比较简单的方法？(2)直线l直线m，l平面，则m与垂直吗？(3)直线l平面，直线m，则l与m有何位
5、置关系？讨论结果：(1)我们已经知道，一个平面被它所含的两条相交直线完全确定实际上只要检验这条直线与平面内的两条相交直线是否垂直就可以了，如果都垂直，则这条直线就与平面垂直当这两条相交直线不都经过这条直线与平面的交点时，可以把它们平行移动到交点处后进行研究由以上分析，我们归纳出直线与平面垂直的判定定理：定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 (2)如下图，如果直线l平行于直线m，且直线l垂直于平面，则直线l垂直于平面内任意两条相交直线，如a，b.根据空间两条直线垂直的定义，易知，m与直线a和b也垂直，所以m与平面垂直推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那
6、么另一条直线也垂直于这个平面(3)推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行已知：直线l平面，直线m平面，垂足分别为A，B(如下图)求证：lm.证明：假设直线m不与直线l平行过直线m与平面的交点B，作直线ml，由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m.设m和m确定的平面为，与的交线为a.因为直线m和m都垂直于平面，所以直线m和m都垂直于交线a.因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，所以直线m和m必重合，即有lm.思路1例1 过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面和一点P(如下图)甲乙求证：过点P与垂直的直线只有一条证明：不论点P在外或内，设PA，垂
7、足为A(或P)如果过点P，除直线PA外，还有一条直线PB，设PA，PB确定的平面为，且a，于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a，这是不可能的所以过点P与垂直的直线只有一条变式训练如下图所示，在RtABC中，B90，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC.问：四面体PABC中有几个直角三角形？解：因为PA平面ABC，所以PAAB，PAAC，PABC.所以PAB，PAC为直角三角形又PABC，ABBC，且PAABA，所以BC平面PAB.又PB平面PAB，于是BCPB，所以PBC也为直角三角形所以四面体PABC中的四个面都是直角三角形例2有一根旗杆AB高8 m(如下图)，它的顶端A挂
8、着两条长10 m的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D(和旗杆脚不在同一条直线上)如果这两点都和旗杆脚B的距离是6 m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在ABC和ABD中，因为AB8 m，BCBD6 m，ACAD10 m，所以AB2BC28262102AC2，AB2BD26282102AD2.所以ABCABD90，即ABBC，ABBD.又知B，C，D三点不共线，因此AB平面BCD，即旗杆和地面垂直变式训练如下图所示，RtABC所在平面外一点S，且SASBSC.(1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD面ABC；(2)若直角边BABC，求证：BD面ASC.证明：(1)在等腰三角形
9、SAC中，D为AC的中点，SDAC，取AB的中点E，连DE、SE.EDBC，ABBC，DEAB.又SEAB，AB面SED，ABSD，又ABACA，SD面ABC.(2)BABC，BDAC，又SD面ABC，SDBD，SDACD，BD面ASC.例3 已知：直线l平面，垂足为A，直线APl.求证：AP在内证明：设AP与l确定的平面为.假设AP不在内，则设与相交于直线AM(如下图)因为l，AM，所以lAM.又已知APl，于是在平面内，过点A有两条直线垂直于l.这是不可能的，所以AP一定在内变式训练如下图，已知直线ab，b，a.求证：a.证明：在直线a上取一点A，过A作bb，则b必与相交，设交点为B，过相
10、交直线a、b作平面，设a，bb，ab，ab.b，bb，b.又a，ba.由a，b，a都在平面内，且ba，ba知aa.a.点评：反复使用线面垂直的性质定理和判定定理，是解决立体几何垂直问题的常用策略.2. 2008安徽，理4 已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面下列命题中正确的是()A若m，n，则mn B若，则C若m，m，则 D若m，n，则mn解析：垂直于同一个平面的两条不同的直线平行答案：D思路2例4 如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心求证：A1O平面GBD.证明： 又A1O2A1A2AO2a2(a)2a2，OG2OC2CG2(a)2()2a2
11、，A1G2A1CC1G2(a)2()2a2，A1O2OG2A1G2.A1OOG.又BDOGO，A1O平面GBD.点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法变式训练如下图，已知点P为平面ABC外一点，PABC，PCAB，求证：PBAC.证明：过P作PO平面ABC于O，连结OA、OB、OC.PO平面ABC，BC平面ABC，POBC.又PABC，BC平面PAO.又OA平面PAO，BCOA.同理，可证ABOC.O是ABC的垂心OBAC.可证POAC.AC平面PBO.又PB平面PBO，PBAC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直用符号语
12、言证明问题显得清晰、简洁如下图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a.(1)求证：BD1平面B1AC；(2)求B到平面B1AC的距离(1)证明：ABB1C，BC1B1C，B1C面ABC1D1.又BD1面ABC1D1，B1CBD1.B1BAC，BDAC，AC面BB1D1D.又BD1面BB1D1D，ACBD1.又B1CACC，BD1平面B1AC.(2)解：OBD，连结OB1交BD1于E.又OAC，OB1面B1AC.BEOE，且BE即为所求距离，BEOBaa.2已知a、b、c是平面内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面相交，并且和a、b、c三条直线成等角求证：l.证明：分别在a、b、c上取
13、点A、B、C并使AOBOCO.设l经过O，在l上取一点P，在POA、POB、POC中，POPOPO，AOBOCO，POAPOBPOC，POAPOBPOC.PAPBPC.取AB的中点D，连接OD、PD，则ODAB，PDAB.PDODD，AB平面POD.PO平面POD，POAB.同理，可证POBC.AB，BC，ABBCB，PO，即l.若l不经过点O时，可经过点O作ll.用上述方法证明l，l.如下图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC中点证明SO平面ABC.证明：如下图，由题设，知ABACSBSCSA.连结OA，ABC为等腰直角三角形，所以OAOBOCSA，且AOBC.又SBC为等腰三角形，故SOBC，且SOSA.从而OA2SO2SA2.所以SOA为直角三角形，SOAO.又AOBCO，所以SO平面ABC.本节学习了：1两直线垂直、直线与平面垂直的有关概念；2判定直线与平面垂直和直线与直线垂直；3转化的数学思想方法应用
