椭圆中常考的十六条焦点性质和证明（6.29）.pdf

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1、学 海 无 涯 椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明 （一）椭圆中，PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在 直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 证明：延长 F2H 至 M，交 PF1于 M PT 平分MPF2 ，又 F2HPT， 2 | |PMPF= 又 12 | 2PFPFa+=， 11 | 2| 2|PMPFaFMOHOHa+=. H 轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点. （二）椭圆中，椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必 与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明：如图，设以焦半径 MF2为直径的圆的半径为

2、r1， 圆心为 O1， 由椭圆定义知 1212 | | |MFMFABMFABMF+= 1121 11 |(|) 22 OOMFABMFar= O、O1相内切 （三） 设 A1、 A2为椭圆的左、 右顶点， 则PF1F2在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与 A1A2所在的直线切于 A2（或 A1）. 证明：设旁切圆切x轴于A，切 2 PF于 M，F1P 于 N， 则| |PNPM= ， 2 | |MFMA=， 11 | |F NF A=， 1122 | |PFPMFFMF+=+ 122122 2222 | | 222| PFPFF AFFF A acF AF AacF A +=+ =+=

3、 A与 A2重合. （ 四 ） 椭 圆 22 22 1 xy ab +=（ a b o ） 的 两 个 顶 点 为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a， 与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时， A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab =. 证明：设交点 00 (,)S xy， 1( , ) P m n， 2( , )P mn 1 11 PAA S KK= 222 P AP S KK=， 学 海 无 涯 0 22 0 000 2222 0000 0 yn maxayyy nnn yma maxa xaamxan maxa = + = + = 又 222222

4、 2222222 11 mnnmnb abbaama += = = 22 0 222 0 yb xaa = 22 00 22 1 xy ab =，即轨迹方程为 22 22 1 xy ab = （五）若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab +=上，则过 0 P的椭圆的切线方 程是 00 22 1 x xy y ab +=. 证明：对x求导可得： 22 22 0 xy y ab += 2 0 2 0 x b y y a =， 切线方程为 2 0 00 2 0 () x b yyxx y a = 即 222222 0000 y yay axx bx b=+， 即 2222222

5、2 0000 y yaxx bx by aa b+=+=， 00 22 1 xxyy ab += （六）若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab +=外 ，则过 P0作椭圆的 两条切线，切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab +=. 证明：设 111 (,)P x y， 222 (,)P xy，则过点 12 PP、切线分别为 1122 12 2222 :1,:1 x xy yx xy y ll abab +=+= 0 P在 12 ll、上 1010 22 1 x xy y ab +=， 2020 22 1 x xy y ab

6、+= 过 P1，P2方程 00 22 1 x xyy ab += （七）AB 是椭圆 22 22 1 xy ab +=的不平行于对称轴且不过原点的弦， M 为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a = . 证明：设(,), (,) AABB A xyB xy 则(,) 22 ABAB xxyy M + 学 海 无 涯 22 22 ABABAB OMAB ABABAB yyyyyy KK xxxxxx + = + 又 22222222 222222 1 AABBABAB xyxyxxyy ababab += =+= 2 2 OMAB b kk a = （八）若 000 (,)P xy

7、在椭圆 22 22 1 xy ab +=内，则被 P0所平分的中点弦 的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab +=+. 证法 1：由上题的结论得： 0 222 00 222 00 ABOPAB yb xbb kkk xaaa y = = = ， 弦 AB 方程为 222 00000 00 22222 0 () b xyyxxyx yyxx y ababa = +=+ 若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab +=内， 则过 P0的弦中点的轨迹方 程是 22 00 2222 x xy yxy abab +=+. 证法 2：设弦交椭圆于 111 (,)P

8、 x y， 222 (,)P xy中点( , )S m n. 1 20 222222 0112212 222222 012 () 1 () PPP S nyxyxyxx bmb kk mxababyy ana + += =+= = = + 22 22222200 00 2222 x my nmn m bmx bn any a abab +=+=+ 即 22 00 2222 x xy yxy abab +=+. （九）过椭圆 22 22 1 xy ab += (a0, b0)上任一点 00 (,)A xy任意 作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向 且 2 0 2 0

9、 BC b x k a y =（常数）. 证明：设两直线与椭圆交于点 1122 ( ,)(,)x yxy. 222222 001122 222222 1 xyxyxy ababab +=+=+= 学 海 无 涯 2 1010 2 1010 2 2020 2 2020 AB AC yyxxb k xxyya yyxxb k xxyya + = + + = = + + 由题意得 2 1020 2 1020 yyxxb xxyya + = + ， 2 2010 2 2010 yyxxb xxyya + = + 展开 2222 12020101220100 2222 12010201210200 ()

10、() ()() y yy yy yyax xx xx xx b y yy yy yyax xx xx xx b +=+ +=+ 22 012012 2()2()a y yyb x xx= 得： 2 012 2 120 BC b xyy K xxa y = （定值） （十） 椭圆 22 22 1 xy ab += (ab0)的左右焦点分别为 F1， F 2， 点 P 为椭圆上异于长轴端点的任意一点 12 FPF=， 则椭圆的焦 点三角形的面积为 2 12 2 | 1 cos b PFPF = + ； 12 2 tan 2 F PF Sb =。 证明：设 1 |PFm=， 2 |PFn=，则2mn

11、a+=. 由余弦定理 2222222 2cos444()4mnmncabmnb+=+， 2 2 12 2 2(1 cos )| 1 cos b bmnPFPF =+= + . 12 2 2 112 sinsin| 22 1 cos2 F PFP b Sm nb tancy = = + （十一） 若 P 为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=上异于长轴端点的 任一点,F1, F 2是焦点, 12 PF F=, 21 PF F=， 则tantan 22 ac ac = + . 证明：设 1 |PFm= ， 2 |PFn=，2mna+=， 12 2 |2 mnaa FFcc + = 又

12、 12 2sincoscos sinsin 222 |sin() 2sincoscos 222 mn FF + + = + + 学 海 无 涯 coscossinsin1tantan 222222 coscossinsin1 tantan 222222 + = 由、得：tantan 22 ac ac = + （十二）椭圆 22 22 1 xy ab +=（ab0）上存在两点关于直线l： 0 ()yk xx=对称的充要条件是 222 2 0 222 ()ab x ab k + . 分析：该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线 1 l，斜 率为 1 k ，其中垂线l为 0 ()yk xx= 则

13、222 2 0 222 ()ab x ab k + + b0）和 22 22 xy ab +=（01 ） ， 一直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点，则AB=|CD. 证明：设直线方程为ykxm=+, 22 2222 2 22 222222 ()12 ()0 xy xkxmkkmm xx ab ababbb ykxm +=+ +=+= =+ 22 22 1 xy ab +=视作1=的特殊情况. 弦中点坐标 2 12 2 22 2 1 221 D km xx b x k ab + = + 与无关. 而 DD ykxm=+ (,) DD D xy与无关. 线段,AD BC中点重合| |ABC

14、D=. 学 海 无 涯 （十四）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=，A、B 是椭圆上的两 点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 0 (,0)P x, 则 2222 0 abab x aa . 证明：设 A 为 11 (,)x yB 为 22 (,)xy 22 11 22 12121212 22 22 22 22 22 1 ()()()() 1 DD xx xxxxyyyy ab abxy ab xy k ab += + = += = 22 2 1 D oDDD oD yab PDxxy kx xxka = =+= 2222 DD abab axax aa （十五）

15、已知椭圆方程为 22 22 1(0), xy ab ab +=两焦点分别为 12 ,F F设焦点 12 PFF， 1221 ,PFFPF F=则椭圆的离 心率 sin() sinsin e + = + 。 证明： 由正弦定理得： sinsin)180sin( 1221 PFPFFF o = 由等比定理得： sinsin)sin( 2121 + + = + PFPFFF 而 )sin( 2 )sin( 21 + = + c FF ， sinsin 2 sinsin 21 + = + + a PFPF sinsin )sin( + + = a c e。 学 海 无 涯 （十六）已知椭圆方程为 22 22 1(0), xy ab ab +=两焦点分别 为 12 ,F F设焦点 12 PFF中 12 ,FPF=则 2 cos1 2 .e 证明证明：设, 2211 rPFrPF=则在 21PF F中，由余弦定理得： 1 2 22 2 42)( 2 cos 21 22 21