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1、学 海 无 涯 新北师大版八年级数学下册第一章证明（二）辅导资料新北师大版八年级数学下册第一章证明（二）辅导资料 第一节第一节 等腰三角形等腰三角形 知识回顾：知识回顾： 复习证明全等三角形的判定方法复习证明全等三角形的判定方法 等腰三角形的性质：等腰三角形的性质： （1） 、等腰三角形的两个底角 ，也就是说，在同一个三角形中， ； （2） 、等腰三角形的顶角 、底边上的 和 互相重合，简称等腰三角 形 。 等腰三角形有下面的判定方法：等腰三角形有下面的判定方法： （1） 、依据三角形定义：如果一个三角形有 相等，那么这个三角形是等腰三角形。 （2） 、依据定理：如果一个三角形有 相等，那么这
2、个三角形是等腰三角形。简单地 说：在同一个三角形中， ； 3、有 边相等的三角形叫做等腰三角形。 有三边相等的三角形叫做 三角形，也叫 三角形。 4、等边三角形的内角都 ，且等于 ；等边三角形是 图形 5、等边三角形的判定方法： （1）有 边相等的三角形叫做等边三角形； （2）有 角相等的三角形叫做等边三角形； （3）有 个内角都等于 60 0的三角形叫做等边三角形； （4）有 个内角等于 60 0的 三角形叫做等边三角形。 典型例题：典型例题： 1、 已知等腰三角形的一边长为 ，另一边长为 ，则它的周长为 。 2、 已知等腰三角形的一边长为 ， 另一边长为 ， 则它的周长为 。 3、等腰三角
3、形底边长为 ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 .则腰长 为 3、 如果等腰三角形的顶角等于 36，则底角等于_度；如果底角等于 36，那么 学 海 无 涯 顶角的度数为_ 4、 有一个角等于 50，另一个角等于_的三角形是等腰三角形 5、等边三角形的三个内角的度数分别为_. 6、有一个内角为 的等腰三角形的另外两个内角的度数为_. 7、有一个内角为 的等腰三角形的另外两个内角的度数为_. 8、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的 2 倍，那么顶角等于_度；如果一个底角是 顶角的 2 倍，那么顶角等于_度. 9、如图， ， 交BC于点D， ，那么BC的长为_. 10、 如图， 在 中，D是
4、AC上的一点， 且 ， ， 则 _， _， _. 11、 如图， 已知： 在 中， ， ，BDBD是 的角平分线， 求 的度数. 学 海 无 涯 12一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的 2 倍少 30 o，求这个三角形的三个内角的度 数 13.如图，已知D =C，A =B，且 AE = BF。求证：AD = BC。 14如图，在ABC 中，AB = AC，ADACBAC = 100。求1、3、B 的度数。 15如图，在ABC 中，D 为 AC 上一点，并且 AB = AD，DB = DC，若 C = 29，求A。 能力提升 填空： AB C D EF 3 21 A B C D D C B
5、A 学 海 无 涯 D C B A D C B A F E 12 A B F D E C （1）如图，在ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD。 请找出所有的等腰三角形 。 （2）等腰三角形的顶角为 50，则它的底角为 。 （3）等腰三角形的一个角为 40，则另两个角为 。 （4） 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60。 2、如图，在ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，且 DEAB，DFAC。 求证：1 =2。 3如图，A、B、F、D 在同一直线上，AB=DF， AE=BC，且 AEBC. 求证：AEFBCD， EFCD.
6、经典证明题：经典证明题： 学 海 无 涯 E A B C D E A B C D 1、如图，ABC中，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD = CE。求证：ABC是等腰三角形。 2、如图，在ABC 中，AB = AC，DEBC，求证：ADE 是等腰三角形。 3、如图，E 是ABC 内的一点，AB = AC，连接 AE、BE、CE，且 BE = CE，延长 AE， 交 BC 边于点 D。求证：ADBC。 4、 已知：如图，ABC 是等边三角形，DEBC，交 AB、AC 于 D、E。 求证：ADE 是等边三角形。 E A B C D E A BC D 学 海 无 涯 5、如图，ABC 是等边三
7、角形，BD = CE，1 =2。求证：ADE 是等边三角形。 6、如图，在 RtABC中，B = 30，BD = AD，BD = 12，求 DC 的长。 练习：练习： 填空： 2 1 E A B C D C B A D 30 学 海 无 涯 B A C D （1）如图 1，BC = AC，若 ，则ABC 是等边三角形。 （2）如图 2，AB = AC，BCAD，BD = 4，若 AB = ，则ABC 是等边三角形。 （3）如图 3，在 RtABC中，B = 30，AC = 6cm，则 AB = ；若 AB = 7，则 AC = 。 图 1 图 2 图 3 2、如右图，已知ABC 和BDE 都是
8、等边三角形，求证：AE=CD。 3、填空： （1）如图 1，AB = AC，AD 是ABC 的一条中线，AB = 5，若 BD = ， 则ABC 是等边三角形。 （2）如图 2，BAC120，ABAC，AB14，则 AD = 。 图 1 图 2 4、已知：ABC中，=90ACB，ABCD，=30A，AB = 40， 求 DB 的长。 5、在四边形 ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，求：AB 的长 C B A A B C D A BC A B C DDCB A A B C D 学 海 无 涯 6、如图，AB=AC，O 是 BC 的中点，ODAB 于 D,OEAC 于 E，
9、 请用两种方法说明 OD= OE 7、如图，已知 ADBC，BD 平分ABC.ABD 是等腰三角形吗？请你说明理由. 8、如图，已知等边ABC 中，BD=CE，AD 与 BE 相交于点 P， （1）求证：ABDBCE （2）求APE 的度数。 A B C D E O 学 海 无 涯 9要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图） 。 修在河边什么地方，可使 所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置 第二节第二节 直角三角形直角三角形 知识回顾：知识回顾： 1.勾股定理的内容： _ 。 2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ） 8，15，17 4，5，6 7，5.4，8.5 24
10、，25，7 5，8，10 3.把命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等。 ”的条件和结论交换位置： 如果_ ，那么_ 。此命题是_命题. 知识点知识点 1、直角三角形的两个锐角互余。 （性质） 2、有两个角互余的三角形是直角三角形。 （判定） 3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 （性质） 4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （判定） 5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两 个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理
11、称为互逆 定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 练习：练习： 1、说出下列命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假: （1）四边形是多边形; （ ）_( ) （2）两直线平行,同旁内角互补; （ ）_( ) （3）如果 ab=0,那么 a=0,b=0. （ ）_( ) 2、 命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是. 3. 若一个直角两直角边之比为 3：4，斜边长 20CM，则两直角边为 . 张村张村 李庄李庄 l A A B B 学 海 无 涯 4. 已知直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，则斜边长为_，斜边上的高为_. 5. 小明将长 2.5M 的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底
12、端 B 到墙根 C 的距离是 0.7M，如 果梯子的顶端垂直下滑 0.4M，那么梯子的底端 B 将向外移动多少米. 练习：练习： 选择题 1下列命题中，是真命题的是 （ ） A相等的角是对顶角 B两直线平行，同位角互补 C等腰三角形的两个底角相等 D直角三角形中两锐角互补 2若三角形三边长之比为 12，则这个三角形中的最大角的度数是 （ ） A60 B90 C.1 20 D150 3在ABC中，若ABC312，则其各角所对边长之比等于 （ ） A12 B12 C12 D21 4具备下列条件的两个三角形可以 判定它们全等的是 （ ） A一边和这边上的高对应相等 B两边和第三边上的高对应相等 C两
13、边和其中一边的对角对应相等 D两个直角三角形中的斜边对应相等 5在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰 的夹角是 30，则此等腰三角形的底 边上的高是 学 海 无 涯 6、如图，BADA 于 A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BADC。 7、若直角三角形的三条边长分别是 6，8，a，则a =_。 8、已知：如图，ABC中，CDAB于D，AC=4，BC=3，DB= 5 9 。 （1）求DC的长； （2）求AD的长； （3）求AB的长； （4） 求证：ABC是直角三角形. 9、填空： （1）直角三角形的两直角边为 9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为 13， 其中一条直角边为 5，则另一条直角边为 。 （2）如果一个三角形的三边分别是 6、10、8，则这个三角形是 三角形。 10、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。 1）等边对等角； 2）对顶角相等； 3）平行四边形的两组对边相等； 4）正方形的四条边都相等； 11、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图 5 所示，ACB90， AC80 米，BC60 米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价 为 10 元/米，问D点在距A点多远
