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1、学 海 无 涯 “双星”问题的分析思路“双星”问题的分析思路 两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象， 叫双星。 双星问题是万有引力定律在天 文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。 一、一、 要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源 双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提 供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力 定律可以求得其大小。 二、二、 要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系 两
2、子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等 的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。 三、三、 要明确两子星圆周运动的动力学关系。要明确两子星圆周运动的动力学关系。 设双星的两子星的质量分别为 M1和 M2，相距 L，M1和 M2的线速度分别为 v1和 v2，角 速度分别为 1和 2，由万有引力定律和牛顿第二定律得： M1： 2 2 121 11 11 2 1 M Mv GMM r Lr = M2： 2 2 122 22 22 2 2 M Mv GMM r Lr = 在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两
3、子星 间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。 【例题一例题一】两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动， 因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是： A、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。 B、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。 C、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。 D、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。 解析解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。由 v=r 得线速 度与两子星圆周运动的半径是成正比的。 因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引 力提供，
4、向心力大小相等，由 2 12 1 1 2 M M GM r L = ， 2 12 2 2 2 M M GM r L = 可知： 22 1 12 2 M rM r=， 所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的。 而线速度又与轨道半径成正比， 所以线速度 与它们的质量也是成反比的。正确答案为：BD。 M1 M2 1 2 L r1 r2 学 海 无 涯 【例题二例题二】用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的 研究， 使我们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识， 双星系统是由两个星体构 成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当
5、 做孤立系统处理， 现根据对某一双星系统的光度学测量确定， 该双星系统中每个星体的质量 都是 M，两者相距 L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。 （1）计算该双星系统的运动周期 T计算。 （2）若实验上观测到的运动周期为 T观测，且 T观测：T计算=1：N (N1)，为了解释 T 观测与 T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的 暗物质， 作为一种简化模型， 我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质， 而不考虑其它暗物质的影响， 试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密 度。 解析：解析：（1）双星绕它们的连线中点做圆周运动，
6、由万有引力提供向心力，根据万有引力 和牛顿第二定律得： 22 2 2 MML G L = ，而 2 T = 。解得： L 2L /GMT 计算 。 （2） 因为 1 N TTT 观测计算计算 ， 这个差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着的暗物 质引起的，设这种暗物质质量为 M，位于两星连线中点处的质点对双星的影响相同，这时 双星做圆周运动的向心力由双星的万有引力和 M对双星的万有引力提供，所以有： () 2 2/ 22 2 /2 MLMMM GG L L = 观测 ，又 2 T = 观测 观测 解得暗物质的质量为： / N 1/4MM（ ） 而暗物质的体积为： 3 4L V 32 （ ） 所以暗物质的密度为： / 3 M 3(1)/(2) V NML=
