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1、九年级数学上册知识点归纳（北师大版） 第一章 特殊平行四边形 第二章 一元二次方程 第三章 概率的进一步认识 第四章 图形的相似 第五章 投影与视图 第六章 反比例函数 （八下前情回顾）平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的 两顶点连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直
2、线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个 距离称为平行线之间的距离。,第一章 特殊平行四边形 - 1 -,- 2 -,平行四边形,菱形,正方形,一组邻边相等,一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分）,菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一 组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 矩形的性质与判定 矩形的定义：有一个角是直角的平
3、行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条 对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3 正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称 轴） 正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂
4、直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图 3 所示)： 梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 一个内角为直角,（或对角线相等）,- 3 -,等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 夹在两条平行线间的平行线段相等。 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半,第二章 一元二次方程,1 认识一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax2 bx c 0 （
5、a、b、c 为,常数，a0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 把ax2 bx c 0 （a、b、c 为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一 次项系数；c 为常数项。 用配方法求解一元二次方程 配方法 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式； 将二次项系数化成 1； 把常数项移到方程的右边； 两边加上一次项系数的一半的平方； 把方程转化成(x m)2 0 的形式； 两边开方求其根。 用公式法求解一元二次方程,2a,b b2 4ac,公式法 x ,（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）,用因式分解法求解一元二次方程 分解因式法 把方程
6、的一边变成 0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和 “十字相乘”） 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系：当 b2-4ac0 时，方程有两个不等的实数根； 当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2-4ac0 时，方程无实数根。,a,a,如果一元二次方程ax2 bx c 0 的两根分别为 x 、x ，则有： x x b 12,12,12,x x c 。,一元二次方程的根与系数的关系的作用： 已知方程的一根，求另一根； 不解方程，求二次方程的根 x1、x2 的对称式的值，特别注意以下公式：,2,12121 2,1 2,12,12,xxx x,1
7、1x x, x2 x2 (x x ) 2x x ,12121 2, (x x )2 (x x )2 4x x,12121 2,- 4 -,| x x |(x x )2 4x x, (| x | | x |)2 (x x )2 2x x 2 | x x | 12121 21 2, x3 x3 (x x )3 3x x (x x ) 其他能用 x x 或 x x 表达的代数式。 12121 212121 2,21 2,（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程： x2 (x x )x x x 0 1,1,（4）已知两数 x1、x2 的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 x2
8、 (x, x2 )x x1x2 0,的根 6 应用一元二次方程 在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为 x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；寻找等量关系（一般地，题目中会含有 一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。,处理问题的过程可以进一步概括为： 问题 分析 方程 求解 解答 抽象检验,- 5 -,第三章 概率的进一步认识,用树状图或表格求概率 相关知识点链接： 频数与频率 频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。,概率的意义和大小：概率就是表示每
9、件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必 然事件发生的概率为 1；不可能事件发生的概率为 0；不确定事件发生的概率在 0 与 1 之间。 【知识点 1】频率与概率的含义 在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与,频数,总次数的比值为频率，即频率,总次数,把刻画事件 A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的概率。 【知识点 2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率 在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。 我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。
10、【知识点 3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）,第四章 图形的相似,1 成比例线段 一. 线段的比 1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB, CD 的长度分别是 m、n,那么就说这两条线段的比,Bn,Am,AB:CD=m:n ,或写成.,bd,- 6 -,ac,2. 四条线段a、b、c、d 中,如果a 与b 的比等于c 与 d 的比,即,那么这四条线段 a、b、c、d 叫,做成比例线段,简称比例线段.,3. 注意点: a:b=k,说明 a 是 b 的 k 倍; 由于线段 a、b 的长度都是正数,所以 k 是正数; 比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;,ab,
11、除了 a=b 之外,a:bb:a,与互为倒数; ba,bd,ac,bd,ac,比例的基本性质:若, 则 ad=bc; 若 ad=bc, 则,2 平行线分线段成比例,DEEF,ABBC,如图 2, l1 / l2 / l3,则,.,二. 黄金分割,ABAC,1. 如图 1,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 AC BC ,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C,2,叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比. AC : AB 5 1 0.618:1,2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 3 相似多边形 1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形
12、. 2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 1. 在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形. 2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比. 3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于 1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一 样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 5. 相似三角形周长的比等于相似比. 6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方. 4 探索
13、三角形相似的条件 1. 相似三角形的判定方法:,_图 1,B_,C_,A_,_图 2,1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. A_D_,_C_F_l,_3,_B_El_,_2,l_1_,- 7 -,2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.,DEEF,- 8 -,ABBC,如图 2, l1 / l2 / l3,则,.,3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 相似三角形的判定定理的证明 利用相似三角形测高 相似三角形的性质 图形的位似,第五章 投影与视图,A）三视图 主视图从
14、正面看到的图 左视图从左面看到的图 俯视图从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等. 虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线. B）投影 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象. 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。,在同一时刻,物体高度与影子长度成比例. 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影. 探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称 为 中心投影 皮影和手影都是在灯光照射
15、下形成的影子.它们是中心投影。 C）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。 . 眼睛所在的位置称为视点， . 由视点发出的光线称为视线， . 眼睛看不到的地方称为盲区,第六章 反比例函数 知识点 1 反比例函数的定义 一般地，形如y k （k 为常数， k 0 ）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： x x 是自变量，y 是x 的反比例函数； 自变量 x 的取值范围是x 0 的一切实数，函数值的取值范围是y 0 ； 比例系数k 0 是反比例函数定义的一个重要组成部分； 反比例函数有三种表达式： y k （ k 0 ）， x,- 9 -, y kx 1 （ k 0 ）， x y
16、 k （定值）（ k 0 ）； 函数y k （ k 0 ）与x k （ k 0 ）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数时，x 也是y 的反 xy 比例函数。 （k 为常数， k 0 ）是反比例函数的一部分，当 k=0 时， y k ，就不是反比例函数了，由于反比 x 例函数y k （ k 0 ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定 x 反比例函数的表达式。 知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数y k （ k 0 ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的 x 值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点 3 反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限， 它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自
