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1、函数及其图象（一） 【命题思路剖析】1 考查考生研究函数的基础知识和基本技能的状况熟悉坐标特点，了解函数中自变量的取值范围的意义和方法，会根据事物的情节列出函数的解析式，会画出函数图象，会读出函数图象的意义，都是研究函数的基础知识和基本技能。是一种重要的数学能力，也是中考考查的重点内容。 【例题1】填空题：已知，那么，点P关于轴的对称点是在第_象限 【分析】关于轴对称的两个对称点，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数。 【解】 点P关于轴的对称点的坐标为， 当时， 有， 且 可知点P关于轴的对称点是在第三象限， 所以应填“三”。 【剖析】本题不仅考查点的坐标，而且考查了判断代数式的值的符号的技能
2、，是对考生数学素质的考察。由本题的构思不难派生出类似的考题，如：所求改为“点P关于轴的对称点在直线上，则点的坐标为_”则综合考查了曲线和方程的关系的知识，及解方程的技能，问题更有综合性。本题还可以用先判断点P在第二象限，再确定点所在象限的方法求解 2考查函数解析式的确定，考查待定系数法的使用是中考试题不变的重点内容 函数解析式的确定是初中函数学习的重要内容，待定系数法是初中学习的重要的数学方法，所以使用待定系数法求函数解析式一直是必考的部分。不仅考查基本技能，而且题目有向综合灵活方向发展的趋势，是能力和技能一起考查的一类重要试题。 【例题2】填空题：反比例函数的图象经过点，其中、是一元二次方程
3、的两个根，那么点的坐标为_ 【分析】这里有三个未知数、，用不同的条件布列三个独立的方程，可以求出它们的值，从而求出点的坐标 【解】由于点P在反比例函数的图象上，所以有， 其中、均不为0，又，由于、是一元二次方程的两个根，那么根据根与系数的关系， 再结合，可得三元方程组， 解得 则点P的坐标为，应填“” 【剖析】本题虽然不要求求出的值，但求出的值确是求出、的值所必需的，所以应当做三元问题来处理比较好。值得指出的是，解的过程和叙述方法可能不同，实质上都是在解一个三元方程组。 3考查考生掌握解析式和图像关系的能力熟练掌握函数解析式中各系数与图象形状、曲线走向、图象位置的关系，是对函数深刻理解的基础，
4、也是运用“数形结合”方法的基础，所以也是中考命题的热点之一。 【例题3】已知二次函数，如果，且，则它的图象应是（ ） 【分析】充分运用已知中的和，如“有，可知点（1，0）在抛物线上”也要充分利用图形中抛物线的位置特征提供的信息，如（D）图说明 【解】由于有，可知点在抛物线上，（D）可以排除；图（B）说明，不满足；图（C）说明，也不满足；所以应选(A) 【剖析】数形结合是学习函数的重要的基本技能，看“式”想“图形”， 看“图形”想“式”，是解这一类题目的唯一途径。 【解题方法点拨】 1注意“数形结合”思想的树立和正确运用“数形结合”方法是解决有关函数问题的重要思路之一 【例题4】 已知二次函数。
5、求当时，的值的变化范围是_分析从而次行数的图象（抛物线）的特征可以知道，有时的值随的值的增大而增大，有时的值随的值的增大而减小（想一想，函数的状况如何？） 【解】 作配方变形得，画出示意图，观察可得，当时，的最小值为，当时，有是的最大值， 所以，的取值范围是 【点拨】 事实上，二次函数有如下性质：（1） 当时，若，的值随的值的增大而减小，若，的值随的值的增大而增大， （2）当时，若，的值随的值的增大而增大，若，的值随的值的增大而减小， 用代数推理求值时，需分类讨论，过程较繁琐；画图观察求解时，简明直观，迅速准确，但只能用于解答填空题和选择题等不要求写出步骤的试题。 【例题5】 已知二次函数的图
6、象如图所示，下列结论 中正确的个数是( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 【分析】 仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中各系数与图形性质的对应关系，再做出判断 【解】 由观察图形可知，当和时，分别有和， 即有 和 ，可得 、正确， 又由抛物线开口向下，所以，对称轴， 所以有且，即有正确。 又由于抛物线和轴的交点在轴的上方，所以则有，即正确。 所以应选(A) 【点拨】 本题的思考方法适用于很多类似的问题，很有普遍意义，应练习掌握。 2注意坐标系中的图象的量的关系和一般平面图形的量的关系相互转化 【例题6】 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，过
7、A作轴的垂线交轴于点C，连结BC，设面积为S，则（ ） (A) S=1 (B)S=2 (C)S=3 (D)S的值不能确定 【分析】 解决坐标系中的图形问题，可以借鉴处理平面几何图形的方法，求面积S，只需把分割成特殊三角形来解决。 【解】 再过点B做轴的垂线交轴于点D，则有 ， 设点A、B两点的坐标分别是和，于是把点A的坐标代入，得，且由反比例函数对称性可知和互为相反数， ，所以，有 （注意： 所以应选（A） 【点拨】 把坐标系中的图形的量的关系化为一般平面图形的量的关系时，要正确处理坐标表示的几何量的符号问题。不难看出，“设而不求”是本题解法的一个特点，如果一味企图求出的值，将导致解法的失败，
8、这一经验值得注意。3 充分利用曲线特征，充分运用数学方法，灵活调动知识技能，创立独立的优秀解法 【例题7】 已知二次函数图象过，且在轴上截取长为3的线段，对称轴方程是，求这个二次函数的解析式 【分析】 按通常的解法，此题应列方程组 来解，但若能深刻思考“在轴”上截取长为3的线段，对称轴方程是的深层含义，充分利用抛物线的对称性，可得抛物线与轴的两交点的坐标分别为，且和是方程的两根，若利用这些信息来求解析时，则变得十分简单，方法也更为轻巧。 【解】 抛物线的对称轴方程为，且在轴上截取的线段长为3，所以抛物线与 轴的交点坐标分别为，。 设此函数解析式为 ，把代入， 解得；所以所求的二次函数解析式为
9、【点拨】 由于二次函数的解析式中有三个参数；运用代定系数法求时，则需三个独立的条件，已知三个点的坐标时是最基本的条件，但如果已知对称轴方程，或抛物线与轴的一个交点坐标，或截得的线段长时，仍可利用抛物线的对称性，转化为这个基本条件，只需掌握这个转化条件就可以了，这里就是一例。 【能力训练】(时间：4560分钟)一选择题：1如果不等式的解集是，点在双曲线上，那么函数的图象不经过（ ） (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2若，且的图象不经过第四象限，则点所在的象限为（ ） (A) 一 (B) 二 (C) 三 (D) 四3若点、都是反比例函数的图象上的点，并且 ，则
10、下列各式中正确的是（ ） (A) (B) (C) (D) 4把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ） (A) (B) (C) (D) 5函数与在同一个直角坐标系中的图象的示意图是（ ） 6在函数中，自变量的取值范围是（ ） (A) (B) (C)全体实数 (D)7如图，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作轴的垂线，垂足为B，过C作轴的垂线，垂足为D，设的面积为， 的面积为，（ ）则：(A) (B) (C) 和大小关系不能确定 (D) 8二次函数的图象如图所示， 则在下列各不等式； ；中，成立的个数是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 39如图，正比例
11、函数与反比例函数 的图像相交于A、C两点，过A作轴的垂线交轴于B，连结BC，若面积为，则（ ）(A) S=1 (B) S=2(C) S的值不能确定 (D) S=3二填空题：10若点与点关于原点对称，则，11、满足等式，把它写成与的函数是_，其中自变量的取值范围是_12一个反比例函数图象在第二象限的图象如图所示，点A 是图象上任意一点，AM轴，垂足为M，O是原点， 如果AOM的面积为3，那么这个反比例函数的解析式 是_13函数中，自变量的取值范围是_14函数中，自变量的取值范围是_15已知点A、B都在直线（为常数）则与的大小关系是_16已知反比例函数的图象在二、四象限，则的值为_三解答题：17已知：反比例函数和一次函数图象图象的一个交点为A，且一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数与一次函数的解析式18已知一次函数的图象经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为6，求这个一次函数解析式。19如图，抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴 上A、B两点，该抛物线的对称轴与轴相交与点C， 且，求（1）直线AB的解析式（2）抛物线的解析式8
