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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题9 平面解析几何 76 直线与圆锥曲线 理训练目标会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解决有关问题.训练题型(1)求曲线方程；(2)求参数范围；(3)长度、面积问题；(4)与向量知识交汇应用问题.解题策略联立直线与曲线方程，转化为二次方程问题，再利用根与系数的关系转化为代数式、方程组、不等式组，结合已知条件解决具体问题.1已知椭圆E：1(ab0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x2y20与x轴，y轴分别交于点A，B，(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB上存在点P满足PF1PF22a，求
2、a的取值范围2(2015重庆巫溪中学第五次月考)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点相同，且椭圆C上一点与椭圆C的左、右焦点F1，F2构成的三角形的周长为22.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：ykxm(k，mR)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，AOB的重心G满足：，求实数m的取值范围3(2014眉山联考)已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且满足OO3.(1)求抛物线的方程；(2)若直线yx与抛物线交于A，B两点，在抛物线上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线？若存
3、在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由4(2015浙江新阵地教育研究联盟联考)已知中心在原点的椭圆1的右焦点和抛物线2的焦点相同，为(1,0)，椭圆1的离心率为，抛物线2的顶点为原点，如图所示(1)求椭圆1和抛物线2的方程；(2)设点P为抛物线2准线上的任意一点，过点P作抛物线2的两条切线PA，PB，其中A，B为切点设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；若直线AB交椭圆1于C，D两点，SPAB，SPCD分别是PAB，PCD的面积，试问：是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由5(2015贵州七校联盟上学期第一次联考)已知中心在原点O，左焦点为F1(1,0)的
4、椭圆C1的左顶点为A，上顶点B，F1到直线AB的距离为OB.(1)求椭圆C1的方程；(2)若椭圆C1的方程为1(mn0)，椭圆C2的方程为(0，且1)，则称椭圆C2是椭圆C1的倍相似椭圆，已知椭圆C2是椭圆C1的3倍相似椭圆，若直线ykxb与两椭圆C1，C2交于四点(依次为Q，R，P，S)，且PR2，如图所示，试求动点E(k，b)的轨迹方程答案解析1.解(1)由椭圆的离心率为，得ac，直线l与x轴交于A点，A(2,0)，a2，c，b，椭圆方程为1.(2)由e，可设椭圆E的方程为1，联立得6y28y4a20，若线段AB上存在点P满足PF1PF22a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y28
5、y4a20在y0,1上有解设f(y)6y28y4a2，即a24，故a的取值范围是a2.2.解(1)依题意得即所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220，则设AOB的重心为G(x，y)，由，可得x2y2.由重心公式可得G(，)，代入式，整理可得(x1x2)2(y1y2)24(x1x2)2k(x1x2)2m24，将式代入式并整理，得m2，代入(*)得k0，则m211.k0，t0，t24t0，m21，m(，1)(1，)3.解(1)依题意，设抛物线的方程为x22py(p0)，则F(0，)由直线l的斜率存在，设为k，
6、得l的方程为ykx，联立方程消去y并整理，得x22pkxp20，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x22pk，x1x2p2，又y1y2(kx1)(kx2)k2x1x2kp(x1x2)k2(p2)kp2kp.所以x1x2y1y2p23，因为p0，解得p2，故所求抛物线的方程为x24y.(2)联立方程可求得A(0,0)，B(4,4)，假设抛物线上存在异于A，B的点C，且设C的坐标为(t，)(t0，t4)，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线令圆心为E(a，b)，则由得即解得因为抛物线在点C处的切线斜率ky|xt(t0，t4)，又该切线与EC垂直，所以1，即2abt2t0
7、，将代入得2()t2t0，即t32t28t0，因为t0，t4，解得t2，故存在点C，且坐标为(2,1)4(1)解设椭圆1和抛物线2的方程分别为1(ab0)，y22px(p0)，由题意得，c1，1，即a2，c1，p2，所以椭圆1的方程为1，抛物线2的方程为y24x.(2)证明设P(1，t)，过点P与抛物线y24x相切的直线方程为ytk(x1)由消去x整理得y2y40，由0得10，即k2tk10，则k1k21，为定值解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y1，y2，则x1，x2，直线AB的方程为yy1(xx1)，即y(x1)，即直线AB过定点(1,0)，设P到直线AB的距离为d，.a当直线A
8、B的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由消去y并整理，得k2x2(2k24)xk20，k0时，0恒成立AB .由消去y并整理，得(34k2)x28k2x4k2120，0恒成立CD .所以.b当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x1，此时，AB4，CD3，综上可知，的最小值为.5.解(1)设椭圆C1的方程为1，ab0，直线AB的方程为1，F1(1,0)到直线AB的距离为db，a2b27(a1)2，又b2a21，解得a2，b，椭圆C1的方程为1.(2)椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为1，设Q，R，P，S各点坐标依次为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，将ykxb代入椭圆C1的方程，得(34k2)x28kbx4b2120，1(8kb)24(34k2)(4b212)48(4k23b2)0，(*)此时，x1x2，x1x2，|x1x2|，将ykxb代入椭圆C2的方程，得(34k2)x28kbx4b2360，x3x4，x3x4，|x3x4|，x1x2x3x4，线段PS，QR中点相同，PQRS，由PR2Q，RQ，PS3QR，解得|x3x4|3|x1x2|，3，12k294b2，满足(*)式，动点E(k，b)的轨迹方程为1.8
