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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题10 计数原、概率与统计 79 排列与组合 理训练目标会应用排列、组合的计算公式解决与排列组合有关的实际问题.训练题型(1)排列问题；(2)组合问题；(3)排列与组合综合应用问题.解题策略将常见的排列组合问题分成不同类型，并掌握各种类型的解法，弄清问题实质，做到融会贯通.1(2015杭州市余杭区模拟)设集合A0,1,2,3,4,5,6,7，如果方程x2mxn0(m，nA)至少有一个根x0A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为_2(2015德阳诊断)学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少
2、有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有_种3“2 012”含有数字0,1,2，且有两个数字2.则含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为_4(2015南昌二中期末)设集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合Aa1，a2，a3，AS，a1，a2，a3满足a1a2a3且a3a26，那么满足条件的集合A的个数为_5(2015济南模拟)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有_种6(2015合肥一中、安师大附中等六校素质测试)某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，
3、其运动规律为(m，n)(m1，n1)或(m，n)(m1，n1)若该动点从原点出发，经过6步运动到(6,2)点，则有_种不同的运动轨迹7将数字1,2,3,4填入表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有_种.12344312214334218.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有_种9某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的宣传片，1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传片与公益广告不能连续播放，2个宣传片也不能连续播放，则不同的播放方式的种数是_10某工程队有6项工程
4、需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行那么安排这6项工程的不同排法种数是_(用数字作答)11将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有_种12(2015湖北武汉武昌区调考)“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数(如13456和35678都是五位的“渐升数”)(1)共有_个五位“渐升数”(用数字作答)；(2)如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是_13(2015浙江名校交流卷一)A，B，C，D，E，F
5、六位同学和一位数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A，B和C，D分别穿白色和黑色文化衫，E和F分别穿红色和橙色文化衫若老师站中间，穿着相同颜色文化衫的都不相邻，则不同的站法种数为_14.如图所示，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为an.(1)a4_；(2)an_.答案解析117解析当m0时，取n0,1,4，方程为合格方程；当m1时，取n0,2,6，方程为合格方程；当m2时，取n0,3，方程为合格方程；当m3时，取n0,4，方程为合格方程；当m4时，取n0,5，方程为合格方程；当m5时，取n0,6，方程为合格方程；当m6时
6、，取n0,7，方程为合格方程；当m7时，取n0，方程为合格方程综上可得，合格方程的个数为17.230解析由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共CA种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共A种方法，故总的方法种数为CAA36630.324解析依题意，就所含的两个相同数字是否为0进行分类计数：第一类，所含的两个相同数字是0, 则满足题意的四位数的个数为CA6；第二类，所含的两个相同数字不是0，则满足题意的四位数的个数为CCC18.由分类计数原理得，满足题意的四位数的个数为61824.483解析在集合S中任取三个数共有C
7、84种情况，这三个数大小关系确定，其中不满足a3a26，即最大数减去次大数大于6的情况只有1种，即a11，a22，a39，其他均满足题意，所以满足条件的集合A的个数为C183.572解析共有选法：CCCCCCCCCC72种69解析方法一如图所示，该动点从原点出发，第一次运动到点K(1,1)，第二次从K点运动到点I(2,2)或者J(2,0)，以此类推，最后到达A(6,2)，则不同的运动轨迹有：OKIGDBA；或OKJHEBA；一共有9种不同的运动轨迹方法二每一步向右上或右下，所以只关心在竖直方向上的运动情况，即确定6步运动中哪两步往下即可，共有C种，其中第一步不能向下，不符合要求的有C种，当第一
8、步向上，第二、三步向下时，也不符合要求，去掉这一种情况，所以不同的运动轨迹种数为C(C1)9.7576解析因为每行、每列的数字互不相同，所以每填一个数字，就会去掉一行一列，因此按全排列：4232221576.830解析方法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CCCC181230(种)选法方法二总共有C35(种)选法，减去只选A类的C1(种)，再减去只选B类的C4(种)，故有30种选法9108解析首先排列3个商业广告，有A种结果，再在3个商业广告形成的4个空中排入另外3个广告，注意最后一个位置的特殊性，共有CA种结果，故不同的播放方式的种数为ACA108.10
9、20解析依题意，知工程甲、乙、丙、丁的进行顺序一定并且丙、丁相邻，因此只需将剩余两个工程插在甲、乙、的中间或两端，由分步计数原理得不同排法的种数为4520.也可以这样考虑，先把丙、丁捆绑看做一个工程，如果不考虑甲、乙、的顺序，则有A种排法，而甲、乙、共有A种排法，因此共有20种排法11112解析不同的分配方案共有CCCCCCCC112(种)12(1)126(2)34579解析(1)根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应一个“渐升数”，则共有“渐升数”C126个(2)对于这些“渐升数”，1在首位的有C70个，2在首位的有C35个，3在首位的有C15个对于3在首位
10、的“渐升数”中，前四位数字是3456的五位“渐升数”有C3个，前四位数字是3457的五位“渐升数”有2个，依次为34578,34579，所以第110个五位“渐升数”是34579.13160解析按先排白色，再排黑色，最后排红色和橙色的顺序进行，白色分下面4种情况：白白白此时两个黑色有C1种位置；白白白此时两个黑色有C2种位置；白白白此时两个黑色有C种位置；白白白此时两个黑色有C1种位置排完白色和黑色后，红色和橙色有2种排法，所以共有(4C4)AAA160种排法14(1)18(2)解析(1)设三种不同颜色分别为甲、乙、丙三种n4时，第1区域有3种选择，第2区域有2种选择，因为第4区域要与第1区域颜
11、色不同，故对第3区域的选择分类讨论：当第3区域与第1区域颜色相同时，第4区域有2种选择；当第3区域与第1区域颜色不同时，第4区域仅有1种选择所以a432(21)18.(2)当将圆分成n(n3)个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色时，第1区域有3种染色方案，第2区域至第n1区域有2种染色方案此时考虑第n区域也有2种涂色方案，在此情况下有两种情况：情况一：第n区域与第1区域同色，此时相当于将这两区域重合，这时问题转化为用3种不同颜色给圆上n1个区域涂色，且相邻区域颜色互异，即为an1种染色方案；情况二：第n区域与第1区域不同色，此时问题就转化为用3种不同颜色给圆上n个区域染色，且相邻区域颜色互异，即此时的情况就是an.根据分类原理可知32n1anan1，且满足初始条件：a418.即递推公式为由an32n1an1变形得an2n(an12n1)，所以数列an2n是以1为公比的等比数列，所以an2n(a424)(1)n4，即an2n(1816)(1)n42n2(1)n.当n1时，易知有3种染色方法，即a13，不满足上述通项公式；当n2时，易知有326种染色方法，即a26，满足上述通项公式；当n3时，易知有3216(种)染色方法，即a36，满足上述通项公式综上所述，an7
