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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题3 导数及其应用 23 导数与学科知识的综合应用 理训练目标(1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破.训练题型(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围.解题策略(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.1已知函数f (x)sin xcos x，f(x)是f (x)的导函数(1)求函数F(x)f (x)f(x)(f (x)2的最大值和最小正周期；(2)若f (x)2f(x)，求的值2(2015广东)设a1，函数f (x)(1x2)exa.(1
2、)求f (x)的单调区间；(2)证明：f (x)在(，)上仅有一个零点；(3)若曲线yf (x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m 1.3已知函数f (x)axln x，aR，(1)求f (x)的单调区间；(2)设g(x)x22x1，若对任意x1(0，)，总存在x20,1，使得f (x1)0，且函数f (x)和g (x)相切，求切点P的坐标；(3)设a0，点P的坐标为(，1)，问是否存在符合条件的函数f (x)和g (x)，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为(e2,2)呢？(结论不要求证明)答案解析1解(1)已知函数f (x)sin
3、xcos x，则f(x)cos xsin x，代入F(x)f (x)f(x)(f (x)2，可得F(x)cos 2xsin 2x1sin(2x)1，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，F(x)max1，其最小正周期T.(2)由f (x)2f(x)，易得sin xcos x2cos x2sin x，解得tan x.2(1)解f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex，xR，f(x)0恒成立f(x)的单调递增区间为(，)(2)证明f (0)1a，f (a)(1a2)eaa，a1，f (0)2aeaa2aaa0，f (0)f (a)0，则m0，g(m)在(0，)上单调递增；令g
4、(m)0，则m0)当a0时，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f (x)的单调递增区间为(0，)当a0，f (x)单调递增在区间(，)上，f(x)0，f (x)单调递减综上所述，当a0时，f (x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f (x)的单调递增区间为(0，)，f (x)的单调递减区间为(，)(2)由已知，转化为f (x)maxg (x)max，又g(x)maxg(0)1.由(1)知，当a0时，f (x)在(0，)上单调递增，值域为R，故不符合题意当a1ln(a)，解得a0.又因为f(x)2x，g(x)，所以当x0时，f(x)2x0，所以对于任意的x，f(x)g(x)所以当a1，b
5、0时，函数f (x)和g (x)不相切(2)若ab，则f(x)2axa，g(x).设切点坐标为(s，t)，其中s0.由题意，得as2asln s，2asa.由，得a，代入，得ln s因为a0，且s0，所以s.设函数F(x)ln x，x(，)，则F(x).令F(x)0，解得x1或x(舍)当x变化时，F(x)与F(x)的变化情况如下表所示.X(，1)1(1，)F(x)0F(x)0所以当x1时，F(x)取到最大值F(1)0，且当x(，1)(1，)时，F(x)0.因此，当且仅当x1时F(x)0.所以方程有且仅有一解s1.于是tln s0，因此切点P的坐标为(1,0)(3)当点P的坐标为(，1)时，存在符合条件的函数f (x)和g (x)，使得它们在点P处相切；当点P的坐标为(e2,2)时，不存在符合条件的函数f (x)和g (x)，使得它们在点P处相切5
