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1、第二章 轨迹与方程本章在上章建立的空间点与径向量及有序实数组的对应基础上，先介绍平面曲线的方程，然后过渡到曲面与空间曲线方程的研究，从而建立轨迹与方程的对应。2.1平面曲线的方程教学目的：正确理解空间曲线与曲线方程的意义，并初步熟悉根据已知条件建立空间曲线方程的基本方法.教学重难点: 正确的理解空间曲线方程的意义, 并掌握根据已知条件建立空间曲线方程.教学过程:一.曲线的一般方程1.平面曲线(包括直线): 具有某种特征性质的点的集合,即:曲线上的点都具有这些性质; 具有这些性质的点都在曲线上.反映: 曲线上的点满足一定的互相制约的条件.一般用方程或来表达.2. 定义2.1.1 当平面上取定了坐
2、标后,如果一个方程与一条曲线有着关系: (1) 满足方程的必是曲线上某个点的坐标; (2) 曲线上任何一点的坐标满足这个方程,那么这个方程就叫做这条曲线的方程,而这条曲线叫做这个方程的图形.由上定义可得: 研究曲线的几何问题转化为研究其方程的代数问题. 已知曲线,要求它的方程,实际上就是在给定的坐标下,将这条曲线上的点的特征性质,用关于曲线上的点的两个坐标的方程来表达.例1 求圆心在原点,半径为的圆的方程.解: 根据圆的定义,圆上任意点的特征性质,即在圆上的充要条件是到圆心的距离等于半径,即 应用两点距离公式,得 (1)两边平方得 (2)由于方程(2)与(1)通解,所以(2)即为所求圆的方程.
3、完全类似的,可以求圆心在半径为的圆的方程是:.注: 求曲线的方程,有时在化简过程中,会增添不属于给定条件的内容, 此时,必须从方程的开始检查一下,把方程中代表那些不符合给定条件的点限制掉.例2已知两点和,求满足条件的动点的轨迹方程.解: 动点在轨迹上的充要条件是用点的坐标来表达就是 (3)移项得 两边平方整理得 (4)再两边平方整理得 (5)因为方程(2)和(3)同解,而方程(4)与(3)却不同解,但当方程(4)附加了条件, 即后,方程(4)与(3)同解,从而方程(4)与(3)同解,所以方程为所求动点的轨迹方程.二.曲线的参数方程当动点按照某种规律运动时，与它对应的径向量也将随着时间的不同而改
4、变（模与方向的改变），这样的径向量，称为变向量，记做.如果变数的每个值对应于变向量的一个完全确定的值（模与方向），那么就说是变数的向量函数，并把它记做：， （6）设平面上取定的标架为,向量就可以用它的分量来表达,这样的向量函数（6）就可以写为 （7）定义2.1.2 若取的一切可能取的值,如图2-2,由（7）表示的径向量的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径向量，而这径向量可由的某一值通过（7）完全决定，那么就把表达式（7）叫做曲线的向量式参数方程，其中是参数。由于曲线上点的径向量的分量为，所以曲线的参数方程也常写成下列形式： (8)(8)式叫做曲线的坐标式参
5、数方程.从(8)式中消去(若可能的话),可以得到曲线的普通方程: 例3 已知直线通过定点,并且它与非零向量共线,求直线的方程. 解: 设为直线上的任意点,并设如图2-3,那么点在上的充要条件为向量与共线,也就是 这里的是随着点而定的实数.又因为 所以 =即 +这就是直线的向量式参数方程,式中的为参数.小结：1. 直线的向量式参数方程为: +2. 直线的坐标式参数方程为: 3. 直线的对称式方程或标准方程为: 4. 直线的一般方程:,其中5. 给定两直线: 的方向向量分别为:, 则有如下结论: 两直线相交的充要条件为: 两直线平行的充要条件为: 两直线重合的充要条件为: 在直角坐标系下,两直线的
6、交角为:从而有 . 例4. 一个圆在一直线上无滑动的滚动,求圆周上的一点的轨迹. 解: 取直角坐标系,设半径为的圆在轴上滚动,开始时点恰好在原点(图2-4),经过一段时间的滚动,圆与直线的切点移到点,圆心移到的位置,这时有.设, 于是向量对轴所成的有向角为则=又 , 所以 (9)(9)就是点轨迹的向量式参数方程,其中为参数.设点的坐标为,那么由(9)式容易得点的坐标式参数方程为: , 取 时,消去参数,便得到点的轨迹在时的一段普通方程:注：例5、例6、例7（见课本7176）作业布置：2.2曲面的方程教学目的：正确理解空间曲面与曲面方程的意义，并初步熟悉根据已知条件建立空间曲面方程的基本方法.教
7、学重难点: 正确的理解空间曲面方程的意义, 并掌握根据已知条件建立空间曲面方程.教学过程:一.曲面的一般方程：1. 空间中建立直角坐标系，把曲面（作为点的轨迹）上的点的特征性质，用点的坐标与之间的关系式来表达，一般用方程 （1）或者 （2）来表达.2. 定义2.2.1如果一个方程(1)或(2)与一个曲面有着关系: a. 满足方程(1)或者(2)的是曲面上的点的坐标; b. 曲面上任何一点的坐标满足方程(1)或(2),那么方程(1)或(2)就叫做曲面的方程,而曲面就叫做方程(1)或(2)的图形.注： 方程无实解时，不表示任何图形，称它为虚曲面.如 ; 方程有时只代表一个点. 如 方程有时只代表一
8、条直线. 如 (轴)3. 举例说明怎样从曲面上点的特征导出其方程.例1 求连结两点和的线段的垂直平分面的方程.解: 垂直平分面可以看成两定点和为等距离的动点的轨迹,因此垂直平分面上的点的特征性质为,而 从而得 化简得 为所求得垂直平分面的方程.例2 求坐标面和所成二面角的平分面方程.解: 因为所求的平分面是与两坐标平面和有等距离的点的轨迹,因此点在平分面上的充要条件是,所以,或写成,因此所求的平分面的方程是与.4. 球面方程的特征球面方程: .有如下结论: 球面方程是三元二次方程,平方项系数相等,交叉项消失. 反过来,若三元二次方程,当,时,方程可化为 , 配方得到:. (3)a. 当时, (
9、3) 表示实的球面.b. 当时, (3) 表示空间一点.(点球)c. 当时, (3) 表示无实图形.(虚球面)二. 曲面的参数方程： 1. 平面曲线的参数方程 (单参数的向量函数) 2. 对空间曲线有下列的定义: 定义: 取一切值 点在曲面上.则曲面的参数方程(向量式)为: (为参数)曲面的坐标式方程为: .注: a. 曲面参数方程的表达形式不唯一.b. 曲面参数方程与普通方程可以互相转化.例3 求中心在原点,半径为的球面的参数方程.解: 设是以坐标原点为中心, 为半径的球面上的任一点,在坐标面上的射影为,而在轴上的射影为.又设在坐标面上的有向角轴与的交角,(图2-11),那么 且 所以 这就
10、是中心在原点,半径为的球面的向量式参数方程.它的坐标式参数方程为: （4）上式中的为参数，它们的取值范围分别是：. 例4 求以轴为对称轴,半径为的圆柱面的参数方程.解: 设是圆柱面上的任意一点,在坐标面上的射影为,再设坐标面上有向角,在轴上的射影为,那么 而 , 所以 这就是圆柱面的向量参数方程,它的坐标式参数方程为 （5）上式中的为参数，它们的取值范围分别是：.空间曲面的参数方程与平面上的曲线的参数方程一样,它的表达形式也不是唯一的.比如例1中,如果把参数改为由到的有向角,那么球面的参数方程为 . （6）三、球坐标系与柱坐标系球坐标系空间中与坐标原点的距离为r的人一点，总可以吧它看成在在以原
11、点为中心，半径为r的球面上，因此当我们吧球面半径r看成变量时，公式（4）就说明了空间一点M的位置，如图2-11所示，如果吧r改写成，并设的值都确定，那么便有M点的位置也就被确定了，反过来，空间M点的位置如果已经确定，那么三个值也就确定了(如果M点是原点，那么与分别在与内任意取定；如果M在z轴上，但不是原点，那么这时可以在内任意取定，而)。这样就使空间的点出去z轴上的点，其余的点与有序三数组建立了一一对应关系，这种一一对应的关系叫做空间点的球坐标系，或称空间极坐标系，并把有序三数组叫做空间点M的球坐标或称空间极坐标，记做，这里的。 空间中点的直角坐标与球坐标关系为： 其中 反过来，有关系柱坐标系
12、空间中与z轴de 距离为R的点的集合构成以z轴为轴，半径为R的圆柱面（5）。当我们把圆柱面的半径R看成变量，并用来表示时，那么由（5）可知的值可以确定空间一点M的位置；反过来，如果M点的位置确定时，那么的值也就确定（如果M在z轴上，那么可以任意确定），这样我们在空间建立了另一种空间的点（出去z轴上的点外）与有序三数组的一一对应关系，其中，这种一一对应的关系叫做柱坐标系，或称空间半极坐标系，并吧有序三数组叫做点M的柱坐标，或称半极坐标，记做。空间的直角坐标与柱坐标关系如下： 反过来，又有作业 1,2,3，52.3 空间曲线的方程教学目标：了解空间曲线的一般方程与参数方程教学重点：空间曲线的坐标式
13、参数方程,射影柱面的意义教学难点：点的轨迹的参数方程表示法教学过程一. 一般方程空间曲线,通常视为两个曲面的交线,设两曲面, 交于曲线L. L上的点满足 ,上述方程叫曲线L的一般方程.例1、 写出z轴的方程。解： 或例2、 求在xOy坐标平面上，半径等于R，圆心为原点的圆的方程。解 空间的圆总可以看做球面以平面的交线，在这里可以把所求的圆看成是原点O为球心，半径为R的球面与坐标平面xOy的交线，所求圆的方程为：或或 说明: 1.空间曲面的一般方程表达形式不唯一; 2.任意联立两曲面方程,可能不表示任何空间曲线.如：二. 空间曲线的参数方程视空间曲线L为动点的轨迹时,通常用参数表示法:设向量函数 在曲线L上
