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1、主讲教师：蔡吉花 黑龙江科技学院,随机过程,主要内容,泊松过程的定义 泊松过程的基本性质 非齐次泊松过程 复合泊松过程,第3章 泊松（Poisson)过程,复习：泊松分布,泊松分布 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, ，而取各个值的概率为 则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。,3.1 Poisson过程定义和例子,1 计数过程的定义,定义 称 N (t), t 0 为计数过程，若N (t)表示到时间t 为止已发生的“事件A”的总数，且N (t)满足下列条件：(1) N (t) 0 ，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值;(3) 若 s t ，N
2、 (s) N (t) ;(4) 当s t 时， N (t) N (s)等于区间 (s, t 中“事件A”发生的次数。,泊松过程的另一个定义,定义 称计数过程 X (t) , t 0 为具有参数 0 的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程;(3) X (t) 满足下列两式：,泊松过程的几个例子,例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫令X(t)表示电话交换台在 0, t 时间内收到的呼叫次数，则 X(t), t 0 是一个泊松过程。 例2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时间 0, t 内到达售票窗口的旅
3、客数，则 X(t), t 0 是一个泊松过程。 例3 考虑机器在 (t, t+h 内发生故障这一事件。若机器发生故障，立即修理后继续工作，则在 (t, t+h 内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描述。,注：,1. 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独 立的，则称计数过程为独立增量过程。,2. 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程是平稳增量过程。,注意：,从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且,并称,速率或强度,（单位时间内发生的事件的平均个数）,定理3.1 泊松过程定义1、2等价的。,再证：由定义2(3)成立推出定
4、义1（3）,定义2,定义1,先证：由定义1(3)成立推出定义2（3）,例4,已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。,解,设 表示在时间t时到达的顾客数,均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数,2.2 泊松（Poisson)过程的性质,特征函数,一、数字特征,证明： 设 是泊松过程，由定义，当 故,(2) 时间间隔与等待时间,设 X (t), t 0 是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A发生的次数，,Wn 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间，或者到达时间 Tn 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔，或称第n个时间
5、间隔,定理1,证,或,2、到达时间间隔Tn的分布,那么类似地有,（增量的独立性）,（独立增量过程）,可见,一般地,这就证明了到达时间间隔序列 是相互独立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为 的指数分布。,例5,甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1辆（乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望。,解,反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布,下面证明两路车混合到达过程 服从强度为,在（0,t)内两路车混合到达的总数为,事实上,2),因此,由定理1知公共汽车的到达时间间隔服从均值为
6、6分钟的指数分布。,再由指数分布的无记忆性，,这位乘客的等待时间也服从均值为6分钟的指数分布。,定理3.3,其概率密度为,证,因为,所以,3、等待时间的分布,于是,它是n个相互独立的服从指数分布的随机变量之和的概率密度,例0 已知仪器在 0 , t 内发生振动的次数 X(t) 是具有参数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。,解,故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:,故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻Wk ，服从 分布:,(3) 到达时间的条件分布,假设在0 , t 内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间W1的分布,分布函数：,分布密度：
7、,均匀分布,到达时间的条件分布,定理 设 X (t), t 0 是泊松过程，已知在0, t内事件A发生n次，则这n次到达时间W1 W2 Wn与相应于n个0, t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布，,注,在N(t)=n下 独立且同时服从(0,t上的均匀分布。,参数为 n 和 s/t 的二项分布,例1 设在 0 , t 内事件A已经发生 n 次，且0 s t，对于0 k n ，求在 0 , s 内事件A发生 k 次的概率。,例2 设在 0 , t 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k n) 事件A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。,Beta分布,例3 某电话交换台在 0, t 时
8、间内收到的呼叫次数X(t)是一个泊松过程，平均每分钟2次。 (1) 求 2分钟内接到3次呼叫概率；(2) 若2分钟内已接到3次，求第2分钟收到2次呼叫的概率，以及第2次呼叫发生在第1分钟内的概率。,3 非齐次泊松过程,定义 称计数过程 X (t) , t 0 为具有跳跃强度函数 (t) 的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程;(3),非齐次泊松过程的均值和方差函数为:,非齐次泊松过程的分布,定理 设 X (t) , t 0 为具有均值函数的非齐次泊松过程，则有,或者,设 X (t) , t 0 是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。求
9、EX(t) 和 DX(t)。,例1,例2 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性增加，8时达到1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。P38,设某飞机场到达的客机数服从的泊松过程，平均每小时到达的客机数为5架，客机共有A,B,C三种机型，它们承载的客机数分别为180人，145人，80人，且这三种飞机出现的概率相等，求在3小时内到达机场的乘客数的数学期望与方差。,例3,解,首页,设移民到某地区定居的户数服从泊松过程，平均每周有2户定居，如果每户的人口数是随机变量，每户的人口数共有A,B,C,D四种情形，一户4人的概率为0.15,一户3人的概率为0.4,一户2人的概率为0.3,一户1人的概率为0.15,且每户的人口数是相互独立的，这三种飞机出现的概率相等，求在5周内到达该地区定居的人口数的数学期望与方差。,作业,提示,首页,
