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1、（普通班）2017届高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第5节直线、平面垂直的判定与性质基础对点练理第5节直线、平面垂直的判定与性质【选题明细表】知识点、方法题号与垂直相关命题的判断3,9直线与平面垂直1,6,10平面与平面垂直2,4,7,15线面角、二面角5,8,14综合问题11,12,13基础对点练(时间:30分钟)1.一条直线和一个圆的两条直径都垂直,则这条直线和这个圆所在的平面的位置关系是(B)(A)平行 (B)垂直(C)相交不垂直(D)不确定解析:因为一个圆的两条直径一定相交于圆心,由线面垂直的判定定理知这条直线和这个圆所在的平面垂直.2. 在空间四边形ABCD中,若AB=BC,
2、AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是(D)(A)平面ABD平面BDC(B)平面ABC平面ABD(C)平面ABC平面ADC(D)平面ABC平面BED解析:因为AB=BC且AE=EC,所以ACBE,同理ACDE,所以AC平面BED,所以平面ABC平面BED.3.(2015石家庄调研)设a,b表示直线,表示不同的平面,则下列命题中正确的是(D)(A)若a且ab,则b(B)若且,则(C)若a且a,则(D)若且,则解析:A项中,应该是b或b;B项中,如果是墙角的三个面就不符合题意;C项中,=m,若am时,满足a,a,但是不正确.故选D.4.(2016南昌模拟)设a,b是夹角为30的异面直线
3、,则满足条件“a,b,且”的平面,(D)(A)不存在 (B)有且只有一对(C)有且只有两对(D)有无数对解析:过直线a的平面有无数个,当平面与直线b平行时,两直线的公垂线与b确定的平面,当平面与b相交时,过交点作平面的垂线与b确定的平面.5.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为3的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为(B)(A)512(B)(C)(D)解析:如图三棱柱ABCA1B1C1,P为底面A1B1C1的中心,取ABC中心P,连接PP,AP,AP,则PAP即为所求PA与平面ABC所成的角.由AP=(3)2-(32)2=1.又
4、SABC=33sin 60=334,334PP=,PP=3,所以tanPAP=PPAP=3,即PAP=.故选B.6. 如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为(A)(A)(B)1(C)(D)2解析:设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可以得A1B1=2,矩形ABB1A1中,tan FDB1=B1FB1D,tan A1AB1=A1B1AA1=22,又FDB1=A1AB1,所以B1FB1D=22.故B1F=2222=
5、.故选A.7.(2015山东潍坊质检) 如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析: 连接AC,BD交于O,因为底面各边相等,所以BDAC;又PA底面ABCD,所以PABD,又PAAC=A,所以BD平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD.而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC(或BMPC)8.四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心,一个对角面的面积是一个侧面面积的62倍,则侧
6、面与底面所成锐二面角等于.解析:如图所示,根据122ah12ah=62,得=32,即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值,故侧面与底面所成锐二面角为.答案:9.(2015内蒙高三期末)设和为不重合的两个平面,给出下列命题:若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则;若外的一条直线l与内的一条直线平行,则l;设=l,若内有一条直线垂直于l,则;直线l的充要条件是l与内的两条直线垂直.其中所有的真命题的序号是.解析:若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则,所以正确;若外的一条直线l与内的一条直线平行,则l,所以正确;设=l,若内有一条直线垂直于l,则与不一定垂直,所以错误;直线l的充要条件是l
7、与内的两条相交直线垂直,所以错误.所有的真命题的序号是.答案:10.(2014高考山东卷) 如图,四棱锥PABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:BE平面PAC.证明:(1)设ACBE=O,连接OF,EC.由于E为AD的中点,AB=BC=AD,ADBC,所以AEBC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在PAC中,可得APOF.又OF平面BEF,AP平面BEF.所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC,ED=BC.所以四边形BCDE为平行四边形,因此BE
8、CD.又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE.因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC,又APAC=A,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.11.(2015洛阳三模)等边三角形ABC的边长为2,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC的中点(如图(1).现将ABC沿CD翻成直二面角ACDB(如图(2).(1)求证:AB平面DEF;(2)求多面体DABFE的体积.(1)证明:如题图(2)所示,在ABC中,因为E,F分别是AC,BC的中点,所以EFAB.又AB平面DEF,EF平面 DEF,所以AB平面DEF.(2)解:由直二面角ADCB知平面ADC平面BCD,又在图(1)中,ADCD,
9、所以AD平面BCD,V三棱锥ABCD=SBCDAD=36,V三棱锥EFCD=SBCDAD=324,所以,多面体DABFE的体积V=V三棱锥ABCD-V三棱锥EFCD=38.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016四川绵阳诊断)已知l,m,n是三条不同的直线,是不同的平面,则的一个充分条件是(D)(A)l,m,且lm(B)l,m,n,且lm,ln(C)m,n,mn,且lm(D)l,lm,且m解析:对于A,l,m,且lm,如图(1),不垂直;对于B,l,m,n,且lm,ln,如图(2),不垂直;对于C,m,n,mn,且lm,直线l没有确定,则,的关系也不能确定;对于D,l,lm,且m,则必有l
10、,根据面面垂直的判定定理知.13.(2016天津模拟)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC是等边三角形;三棱锥DABC是正三棱锥;平面ADC平面ABC.其中正确的是(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知BD平面ADC,故BDAC,正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD平面ACD,所以AB=AC=BC,BAC是等边三角形,正确;易知DA=DB=DC,又由知正确;由知错误.14. 如图,在锥体PABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且DAB=60,PA=PD=2,PB=2,E,
11、F分别是BC,PC的中点.(1)证明:AD平面DEF;(2)求二面角PADB的余弦值.(1)证明: 如图,取AD的中点O,连接PO,BO,BD.因为四边形ABCD是边长为1的菱形,DAB=60,所以ABD为等边三角形,所以BOAD.因为PA=PD=2,所以POAD.又POBO=O,所以AD平面POB.因为E,F分别为BC,PC的中点,所以EFBP.由O为AD的中点,得DEOB.因为EFED=E,所以平面POB平面DEF.所以AD平面DEF.(2)解:由(1)知POAD,BOAD,则POB为所求二面角的平面角.在等边三角形ABD中,可得OB=32.在PAD中,可得PO=(2)2-(12)2=72
12、.在POB中,PB=2,由余弦定理得cosPOB=PO2+OB2-PB22POOB=74+34-427232=-217,所以二面角PADB的余弦值为-217.15.(2015河北教学质量监测) 已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是边长为a的菱形,BAD=120,PA=b.(1)求证:平面PBD平面PAC;(2)设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角OPMD的正切值为26,求ab的值.(1)证明:因为PA平面ABCD,所以PABD.又底面ABCD为菱形,所以ACBD,所以BD平面PAC,从而平面PBD平面PAC.(2)解: 过O作OHPM交PM于H,连接HD.由(1)知
13、DO平面PAC,所以DHPM,所以OHD为二面角OPMD的平面角.又OD=32a,OM=,AM=3a4,且OHOM=APPM,从而OH=bb2+916a2=ab16b2+9a2,tanOHD=ODOH=3(16b2+9a2)2b=26,所以9a2=16b2,即=.精彩5分钟1.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为(C)(A)30 (B)60(C)30或60(D)45或60解题关键:注意分球心在三棱锥的内部和外部两种情况.解析:球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部、球心在三棱锥外部.当球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O为ABC的中心,在ABC中,可求得OA=3,所以可得OA=2,SO=3,SA与平面ABC所成的角即SAO,由tanSAO=33=3,得SAO=60.同理可得当球心在三棱锥外部时,SA与平面ABC所成角为30.2.在ABC中,ACB=90,AB=8,ABC=60,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为.解题关键:作CHAB于H,利用PC平面ABC,得PHAB,PH为PM的最小值.解析: 如图,作CHAB于H
