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1、第二节 数列的极限,二、收敛数列的性质,一、数列极限的定义,第一章函数与极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整数下标函数,三、数列的极限,2,0,数列(1)(2)(3)有一个共性？,1,当n无限增大时, 与常数 a无限接近,尽管接近的方式不同。,数列极限的描述性定义：,或,我们研究数列就是研究它在自变量 的动态变化过
2、程中， 能否渐趋稳定，或是说，能否无限的接近某一定数 ？如果能， 就叫 的极限。,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 给出数列极限的精确的定义呢？,能否给出数列（3）收敛的描述性的定义？,记作,或,此时称该数列（3）的极限为1 ,讨论数列（3）,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,其中 ，,在平面上,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,例2,证,所以,说明: 常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例3,证,例4,证,四、数列极限的性质,1.有界性,例如,有界,无
3、界,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,2.唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,例5,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,反证法,证:,对 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),3.保号性,数列,的任一子数列,*,4.子列的极限,*,证: 设数列,是数列,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,现取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,*,证: 数列,小结,重点:数列极限的定义，收敛数列的性质,难点:数列极限定义的理解，证明数列的
4、极限.,主要内容：数列及数列极限的定义,几何意义,收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性、子数列极限,思考题,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,方法3.,本次课到此结束,再见!,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割
5、，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,
