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1、1,第四节 高阶线性微分方程,二、常系数齐次线性微分方程,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,一、高阶线性微分方程,2,一、高阶线性微分方程,1、二阶线性微分方程,2、线性微分方程的解的结构,3,通解为,对应齐次方程通解Y,非齐次方程特解,一阶线性方程解的结构及解非齐次方程,的常数变易法对高阶线性方程也适用.,注,一阶线性方程,4,二阶,二阶线性齐次微分方程.,二阶线性非齐次微分方程.,形如,1、二阶线性微分方程,线性,微分方程,5,n阶线性微分方程的一般形式为,n阶线性齐次微分方程.,n阶线性非齐次微分方程.,6,定理,？,证,叠加原理,一定是通解,(1),解,(1)二阶齐次方程解的结构,齐次
2、,2、线性微分方程的解的结构,7,线性无关,定义,线性相关.,否则称,线性无关.,如,线性相关,恒等式成立,如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内,那末称这n个函数在区间I内,为定义在区间I内的n个函数.,8,特别地,线性无关.,若在I上有,如,定理,通解,为了求,只要求它的两个线性无关的特解.,线性无关,的特解,那末,也是(1)的,齐次,线性方程的通解,通解.,9,推论,是n 阶齐次,线性方程,的n 个线性无关的解,那么, 此方程的通解为,其中,为任意常数.,可推广到n阶齐次线性方程.,10,(2)二阶非齐次线性方程的解的结构,定理,的一个特解,为了求,非齐次线性方程的一个特解,和对
3、应齐次线性方程,只要求得:,的通解.,非齐次,(2),非齐次,线性方程的通解,Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的,通解.,是二阶非齐次线性微分方程,11,已知,的通解.,又容易验证,是所给方程的一个特解.,是非齐次方程的通解.,如,是二阶非齐次线性方程,是对应齐次方程,定理,如果,是对应齐次方程(1)的解.,是非齐次方程(2)的两个解，,12,解的叠加原理,定理,之和,的特解,那么,就是原方程的特解.,定理也可推广到n 阶非齐次线性方程.,13,求解,解,的通解是,再考虑两个方程,例,14,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐
4、次线,性方程,的解,是任意,提示,是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (解的叠加原理可证),(89考研),例,15,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,练习,16,定理,的解(复值解)，,其中,是实值函数，,分别是方程,的解.,17,解二阶线性非齐次微分方程,解二阶线性齐次微分方程,只要求两个线性无关的解,则方程的通解为,先求（1）的两个线性无关的解,则方程的通解为,再求（2）的一个特解 y*,18,基本思路,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,二、常
5、系数齐次线性方程解法,19,n阶,方程,二阶常系数非齐次线性方程,线性微分方程,常系数,二阶,常系数,齐次,线性,形如,1. 定义,20,将其代入方程,故有,特征根,二阶,设解,得,特征方程,常系数,齐次,线性方程,其中r为待定常数.,2. 二阶常系数线性齐次微分方程解法,-特征方程法,21,两个 特解,的通解的不同形式.,(1)有两个不相等的实根,特征根r的不同情况决定了方程,特征方程,常数,线性无关的,得齐次方程的通解为,22,(2)有两个相等的实根,一特解为,化简得,设,取,则,知,得齐次方程的通解为,23,(3)有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解,为了得到实数形式的线性无关解, 利
6、用解的叠加原理,得齐次方程的通解为,24,综上，,特征方程,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,特征方程,的根,方程,的通解,两个不相等的实根,两个相等的实根,一对共轭复根,25,(3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解,(1) 写出相应的特征方程,(2) 求出特征根,二阶常系数齐次线性方程,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,求通解的步骤:,26,的通解.,特征方程,特征根,因此原方程的通解为,解,例,27,例,解初值问题,解,特征方程,特征根,所以方程的通解为,(2重根),特解,28,解,特征方程,故所求通解为,例,特征根,29,(1)若特征方
7、程含 k 重实根 r ,特征方程,3. n阶常系数线性齐次微分方程,可得原方程k个线性无关解,则其通解中必含对应项,30,(2)若特征方程含 k 重复根,特征方程,可得原方程2k个线性无关解,则其通解中必含对应项,31,注意,一个根都对应着通解中的一项,n次代数方程有n个根,而特征方程的每,且每一项各,有一个任意常数.,32,例,求方程,解,的通解.,特征方程,故所求通解为,特征根,即,和,可得原方程4个线性无关解,即,33,特征根,故所求通解,解,特征方程,例,对应的特解,34,为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .,根据给定的特解知特征方程有根,因此特征方程为,即,故所求方程为
8、,其通解为,例,解,35,内容小结,特征方程,实根,1. 二阶常系数齐次线性方程解法,36,特征方程,2. n阶常系数齐次线性方程解法,37,则它必定有解（ ）,选择题,38,39,.,40,4. 在下列微分方程中，以,为通解的是（ ）,41,三、常系数非齐次线性微分方程,解二阶常系数线性微分方程,先求（1）的两个线性无关的解,则方程的通解为,再求（2）的一个特解 y*,42,二阶常系数非齐次线性方程,常见类型,(1)对其对应的齐次方程的通解，利用*常数变易法可求通解，但较繁.,难点：如何求特解y* ？,(2)对常见的 ，用待定系数法求特解.,43,设非齐方程特解为,求导代入原方程,44,综上
9、讨论,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性,微分方程(k是重根次数).,不是根,是单根,是重根,45,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例,(1) 求对应齐次方程的通解,(2) 求非齐次方程的特解,此题,其中,?,46,代入方程, 得,47,原方程通解为,48,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例,(1) 求对应齐次方程的通解,(2) 求非齐次方程的特解,此题,其中,?,49,代入方程, 得,原方程通解为,对应齐次方程通解,50,求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,练习,
10、解,51,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,(1) 求对应齐次方程的通解,此题,二阶常系数线性非齐次方程,例,52,(2) 求非齐次方程的特解,解得,所以,(3) 求原方程的特解,即,特征根,原方程通解为,(求函数y的解析表达式),且,53,由题意, 得,即,联立,将之代入通解得,所以,函数y的解析表达式为,54,微分方程,的特解,的形式为,解,特征方程,特征根,对应的齐次微分方程,练习,55,是二阶常系数微分方程,满足初始条件,的特解,函数,的极限,(A) 不存在.,(B) 等于1.,(C) 等于2.,(D) 等于3.,解,例,56,解,对应齐方通解,故原方程的通解为,练习,57,欧拉
11、公式,58,欧拉公式,59,注 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,记住!,60,解,例,(1) 求对应齐次方程,特征根,其通解,特征方程,的通解,61,(2) 求非齐次方程的特解.,设,代入方程, 整理得,特征根,是特征根.,62,原方程通解为,齐次方程的通解为,原方程的特解为,63,且满足方程,求,提示,上式两边对x求导两次,因此问题化为解下列初值问题,解得,二阶可导,练习,64,解,特征方程,故设特解为,不是特征根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,例,65,例,解,特征方程,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,解得,66,即,故原方程的通解为,67,时可设特
12、解为,时可设特解为,提示,1 . (填空) 设,练习,68,2. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解,原方程通解为,69,解,对应齐方通解,例,故原方程的通解为,70,解,对应齐方通解,例,故原方程的特解为,71,内容小结,1. 线性微分方程的概念及解的结构,特征方程,实根,2. 二阶常系数齐次线性方程解法,72,待定系数法,3. 常系数非齐次微分方程求特解,不是根;,是单根;,是重根.,73,74,作 业,习题11-4 (265页),1. 2. 3. (1)(2)(5),4. (1) (3) 5.(1)(2) 6.(1),
