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1、第三章 晶格振动与晶体的热学性质,3.1 一维单原子链的振动,一、运动方程及其解,只考虑最近邻原子间的相互作用：,：力常数,第n个原子的运动方程：,试解, 格波方程,解得, 色散关系,二、格波的简约性质、简约区, 简约区, 色散关系,q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。,格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。,对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动,对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相,q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。
2、,三、周期性边界条件（BornKarman边界条件）,h =整数,在q轴上，每一个q的取值所占的空间为,q的分布密度：,LNa 晶体链的长度,晶格振动格波的总数=N1,简约区中波数q的取值总数,N晶体链的原胞数,=晶体链的自由度数,四、格波的简谐性、声子概念,晶体链的动能：,晶体链的势能：,系统的总机械能：,频率为j的特解：,方程的一般解：,线性变换系数正交条件：,系统的总机械能化为：,Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。,运动方程：,声子是晶格振动的能量量子,声子的概念：,一种格波即一种振动模式称为一种声
3、子，对于由N个原 子组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子, nj：声子数。,晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式。,能量本征值：,声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不 能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子, 只 是一种准粒子。,当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为 单元交换能量。,声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。,由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：,3.2 一维双原子链的振动,一、运动方程及其解,(设M m),考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链,只考虑近邻原子间的弹性相互作用,久期方程：,简约区：,对
4、于不在简约区中的波数q ，一定可在简约区中找到唯一一个q，使之满足：,为倒格矢,两个色散关系即有两支格波：（：光学波； ：声学波）,二、光学波和声学波的物理图象,第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比,R:大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比，: 两原子的振动位相差。,1. 光学波（optical branch）,在、象限之间，属于反位相型。,物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反， 即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而 原胞的质心基本保持不动。,当q0时，原胞中两种原子振动位相完全相反。,离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光
5、学波或光学支。,对于单声子过程（一级近似），电磁波只与波数相同的格波相互作用。如果它们具有相同的频率，就会发生共振。,光波： c0q， c0为光速,对于实际晶体， (0)在1013 1014Hz，对应于远红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在 (0)附近的强烈吸收。,2. 声学波（acoustic branch）,即：,在、象限，属于同位相型,物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。,q0时,当q0时， 原胞内两种原子的振动位相完全相同。,这与连续介质的弹性波 vq 一致。,当q0时,在长波极限下，原胞内两
6、种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以我们将这种晶格振动称为声学波或声学支。,三、周期性边界条件,周期性边界条件：,h =整数， N：晶体链的原胞数,q的分布密度：,推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系 式（s支格波），其中：1支声学波,（s-1）支光学波。 晶格振动格波的总数sN晶体的自由度数。,3.3 三维晶格振动,一、三维简单晶格的振动,第个原子的位矢:,在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U00）：,(l)和(l)分别是第l和第l个原子沿和方向的位移。,力常数,第l个原子的运动方程：,这里考虑了晶体中所有原子的相互作用。晶体中各力常数
7、之间并不全是独立的，而必须满足：,，1，2，3,由晶格的周期性，得,设格波解：,其中,久期方程,可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波。,推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由 运动方程可以解得3s个与q的关系式（即色散 关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波 （一支纵波，两支横波），3(s1)支为光学波。,二、布里渊区,对于第j支格波，设有两个波矢q 和q所描述的晶格振动状态完全相同，有,上式对于任意时刻t和任意的格矢Rl都成立，有：,有 q-qGn ，（由于Rl为任意格矢）,在q空间中， j(q)是以倒格矢Gn 为周期的周期
8、函数，仍可将波矢q限制在简约区或第一布里渊区中。,即： j(qGn)=j(q),将原点取在简约区的中心，在布里渊区边界面上周期对应的两点间应满足关系：, 布里渊区边界面方程,布里渊区的几何作图法：,根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点；,布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。,由近到远作各倒格矢的垂直平分面；,在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 即为简约区或第一布里渊区。,简约区就是倒易空间中的WignerSeitz原胞。,可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b 。,bcc晶格的简约区,fcc晶格的简约区,三、周
9、期性边界条件,设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数，晶体的总原胞数为：N N1 N2 N3 。,周期性边界条件：,令,h1 , h2 , h3整数,在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：,VNva晶体体积,在q空间中，波矢q的分布密度,简约区中波矢q的取值总数(q)bN晶体的原胞数,简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值 对应于三个声学波（1个纵波，2个横波）。,晶格振动格波的总数3N晶体的自由度数。,复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个q的取值 对应于3个声学波和3(s-1)个光学波。,晶格振动格波的总数33(s-1)N=3sN=晶体的自由度数,3.4
10、离子晶体的长光学波,一、长光学波的宏观运动方程 黄昆方程,以立方晶体为例，设每个原胞中只含一对带等量电荷的正负离子，质量分别为M和M 。, 折合位移矢量, 折合质量,：原胞体积,和：正离子和负离子的位移,P：宏观极化强度； E：宏观极化电场,b11W：离子相对位移引起的短程弹性恢复力b12E：宏观极化电场对离子的作用力,第一个方程：决定离子相对振动的动力学方程,第二个方程：极化方程,可以证明：b12 = b21,静电场情况：0,由静电学：,高频电场情况： , 高频介电常数,0：横长光学波的频率,二、长光学波的横波（TO）与纵波（LO）,考虑带电离子间的库仑相互作用：,横波：,纵波：,无自由电荷
11、, LST关系,一般情况：,离子晶体中长光学波产生极化电场，增加了纵波的 恢复力，从而提高了纵波的频率。,极化电场的大小与正负离子的有效电荷q*有关。,可以用(LO2TO2)来估算有效离子电荷的大小。,Si,GaAs,三、离子晶体的光学性质,用黄昆方程讨论离子晶体的光吸收，引入阻尼项：,由,弱阻尼情况：,吸收功率正比于介电常数的虚部2，在0处有一吸收峰。而在弱阻尼情况下（ ），当10时， L 。,NaCl,四、极化激元（电磁激元）,考虑离子晶体长光学波于电磁波的耦合：,设晶格振动是频率为，波矢为q的平面波。,由(5)、(6)得,代入(3),对于纵波：, LST关系,对于横波：,由(4),由(1
12、),由(2),解得,横波：只与q的大小有关，而与q的方向无关 高频支； 低频支,纵波：Lconst.，与q无关,离子晶体的横光学波与电磁波的耦合振动模称为极化激元或电磁激元，既具有机械振动的特性又具有电磁振动的特性。,3.5 确定晶格振动谱的实验方法,中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子）与晶体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的非弹性散射表现为中子吸收或发射声子的过程。,晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或X光光子受晶格的非弹性散射来测定。,只讨论单声子过程。,一、中子的非弹性散射,中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验方法。,“”：吸收声子的散射过程， “”：发射声子散射
13、过程,Mn：中子质量；Gl：倒格矢,E1和p1 （E2和p2） ：入射（出射）中子的能量与动量,有,慢中子的能量：0.020.04eV，与声子的能量同数量级；中子的de Broglie波长：2 31010 m（2 3），正好与晶格常数同数量级，可直接准确地给出晶格振动谱的信息。中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振动谱。,局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况。,Pb的晶格振动谱,Si,GaAs,二、可见光的非弹性散射,我们将发射或吸收光学声子的散射称为Raman散射；将发生或吸收声学声子的散射称为Brillouin散射。,k1和1：入射光的波矢与频率k2和2：散射光的波矢与频率,Br
14、illouin散射：频移21介于107 31010 Hz Raman散射：频移21介于31010 31013 Hz,可见光的波矢k：105 cm1,晶格振动所涉及的范围（即布里渊区的范围）:108 cm1,用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一部分长波声子的振动谱，而不能测定整个晶格振动谱，这是光可见散射法的最根本缺点。,入射光较弱时： pE,Raman散射：,感应的偶极矩将向空间辐射电磁波，形成散射光。,电子极化矩会被晶格振动所调制，从而导致频率改变的非弹性散射。对立方晶体，电子极化率为标量。,设： 0 ,：极化率（电子极化率）,设入射光波为：,散射波为：,频率不变的弹性散射光，称为Ray
15、leigh散射；,频率减小（1）的散射：Stokes散射；,频率增加（1）的散射：antiStokes散射。,入射光与晶格振动的光学波相互作用所引起的频率改变的非弹性散射光，称为Raman 散射。,晶格振动的声学波使晶体的折射率n发生周期性变化，从而使入射光发生非弹性散射，称为Brillouin散射。,三、X光的非弹性散射,X光光子的波长1的数量级，其波矢与整个布里渊区的范围相当，原则上说，用X光的非弹性散射可以研究整个晶格振动谱。,缺点：一个典型X光光子的能量为104 eV，一个典型声子的能量为102 eV。一个X光光子吸收（或发射）一个声子而发生非弹性散射时，X光光子能量的相对变化为106，在实验上要分辨这么小的能量改变是非常困难的。,
