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1、第七章,导行电磁波,上一章：讨论了电磁波在无限大空间和半无限大空间的传播规律。 本章：将要讨论电磁波在有界空间传播的问题。 导波系统：将电磁波约束在有界空间内从一处传播到另一处的装置 导行电磁波：被引导的电磁波,常用的导波系统如图7-1所示，其中平行双导线是 由两根相互平行的金属导线构成；同轴线是由两根同 轴的圆柱导体构成，两导体之间可以填充空气或介质 金属波导是由单根空心的金属管构成，截面形状为矩 形的称为矩形波导，截面形状为圆形的称为圆波导； 带状线是由两块接地板和中间的导体带构成；微带线 是由介质基片及其两侧的导体带、接地板构成；介质 波导是由单根的介质棒构成。,电磁波在不同的导行系统中
2、传播具有不同的特点，分析方法也不相同。 本章主要讨论电磁波在矩形波导、圆波导和同轴线中传播的规律以及功率传输、损耗问题。最后还将讨论谐振腔的工作原理和基本参数。,7.1 电磁波沿均匀导波系统传播的一般解,一、 横向场分量与纵向场分量之间的关系 设导波系统的横截面沿Z方向是均匀的，电磁波沿Z方向传播，导行系统内填充的媒质是线性、均匀、各向同性且无耗（ ），导行系统远离波源，没有外源分布，即 ,导波系统内的场量随时间作正弦变化,则导波系统内的电磁场可以表示为,图7-2 任意截面的均匀导波系统,(7-1),(7-2),式中 为传播常数。一般情况下， 。下面介绍如何求解 和 ，分别简写为 和 。在直角
3、坐标中， 由麦克斯韦旋度方程 得 （7-3）,由 ，得 （7-4） 根据上述方程，可以求得导波系统中横向场分量 、 、 、 和纵向场分量 、 之间的关系，即 (7-5a) (7-5b),(7-5c) (7-5d) 式中 ， 由式（7-5）可见：如果能够求出导波系统中电磁场的纵向分量，那么导波系统中的其他分量即可由上式得到。电磁场的纵向分量又如何求呢？ 已知波动方程,在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有关的 和与纵坐标有关的 两部分，即 代入波动方程得 即 (7-6) 同理可得磁场的类似方程 (7-7) 因此有 （7-8a） （7-8b）,二、 电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
4、,对于沿方向传播的电磁波 (1)如果电磁波在传播方向上没有电场和磁场分量， ， ，即电磁场完全在横截面内，这种电磁波称为横电磁波，简称TEM波； (2)如果电磁波在传播方向上有电场分量，没有磁场分量， ， ，即磁场限制在横截面内，这种电磁波称为横磁波，简称TM波； (3)如果电磁波在传播方向上有磁场分量，没有电场分量， ， ，即电场限制在横截面内，这种电磁波称为横电波，简称TE波。,由式(7-5)可见，当 ， 时， 、 、 、 存在的条件是 得 (7-9),这与无界空间无耗媒质中均匀平面波的传播常数相同，因此TEM波的传播速度为 （7-10） 当 时，（7-6）式变为 （7-11） 表明: 传
5、播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向拉普拉斯方程。,已知静电场 在无源区域中满足拉普拉斯方程，即 （7-12） 对于沿Z方向均匀一致的导波系统， ，因此 （7-13） 比较式(7-10)与式(7-12)。可见，TEM波电场所满足的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足的微分方程相同，又由于它们的边界条件相同，因此，它们的场结构完全一样，由此得知：任何能建立静电场的导波系统必然能够维持TEM波。,显然，平行双导线、同轴线以及带状线等能够建立静电场，因此他们可以传播TEM波，而由单根导体构成的金属波导中不可能存在静电场，因此金属波导不可能传播TEM 波。 由式(7-5)可知，对于TM波，根
6、据方程(7-8a)和导波系统的边界条件，求出 后，再考虑到 ，可得TM波的其他横向场分量为 (7-14a) (7-14b) (7-14c) (7-14d),对于TE波，根据方程（7-8b）和导波系统的边界条件，求出 后，再考虑到 ，可得TE波的其他横向场分量为 (7-15a) (7-15b) (7-15c) (7-15d),7.2 矩形波导,矩形波导的形状如图7-3所示，其宽壁的内尺寸为a，窄壁的内尺寸为b，波导内填充介电常数为 、磁导率为 的理想介质，波导壁为理想导体。假设电磁波沿Z方向传播。由上节分析知道，金属波导中只能传播TE、TM波，下面分别讨论这两种波在矩形波导中传播特性。,图 7-
7、3 矩形波导,一、 矩形波导中的场量表达式 1.TM波 对于TM波， 。按照上节介绍的纵向场法，先求解电场的纵向分量 ，然后再根据式(7-5)求出横向分量。由式(7-1)，电场强度的纵向分量 可以表示为 (7-16),它满足方程(7-6)，即 (7-17) 采用分离变量法求解上述偏微分方程，令 (7-18) 代入式（7-17），得 (7-19) 式中 表示 对 的二阶导数， 表示 对 的二阶导数。上式两边同除以 ，得 (7-20) 式（7-20）左边第一项仅为 的函数，第二项仅为,的函数，因此欲使上式对所有的 、 值均成立，只有每一项分别等于常数。令 (7-21) (7-22) 这里， 、 称
8、为分离常数。且 (7-23) 式（7-21）和式(7-22)为二阶常微分方程，它们的通解分别为 (7-24) (7-25) 则 (7-26),式中积分常数 、 、 、 和分离常数 、 由矩形波导的边界条件确定。矩形波导的边界条件是理想导体壁的切向电场等于零，即 时； 时； 为了满足 时 的边界条件，由式（7-26）得 欲使上式对于所有的 值均成立，要求 。那么 (7-27) 为了满足 时 的边界条件，由式（7- 27）得,欲使上式对于所有的 值成立，要求 或 。当 时， ，这与TM波情况不符，因此，只能取 。此时 或者写成 (7-28) 当 时， 。由式(7-28)得 欲使上式对于所有的 值均
9、成立，要求 ，即 (7-29) 当 时， 。由式(7-28)得,欲使上式对于所有的 值均成立，要求 ，即 (7-30) 将式（7-29）和式（7-30）代入式（7-28）得 (7-31) 将式（7-31）以及 代入式（7-5）中，并加上因子 （令 ），求得矩形波导中TM波沿Z方向传播的场量表达式为 (7-32),式中 (7-33) 由式（7-32）可见： （1） 和 可以取不同的值，因此， 和 每取一组值，式（7-32）就表示波导中TM波的一种传播摸式，以 表示，所以波导中可以有无限多个TM模式。,（2） 表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目， 表示场量在波导窄边上变化的半个驻波的数目。由
10、 的表达式可以看出 和 不能取为零，所以矩形波导中最低阶的TM模式是 波。 （3）波导中的电磁波沿 、 方向为驻波分布，沿 方向为行波分布。,2.TE波,对于TE波， 。仿照TM波场量表达式的求解步骤，可以推导出矩形波导TE波的场量表达式为 (7-34),式中， 。 ，但两者不能同 时为零，所以矩形波导中最低阶的TE模式是 波或 波。,二、矩形波导中的电磁波传播特性,由 ， ， 得到矩形波导中每个 和 模式的传播常数为 (7-35) 传播常数 所对应的频率（波长）称为截止频率（波长），以 （ ）表示，那么 即 (7-36),当工作频率 时，即 时， 为出纯虚数， ，电磁波可以在波导中沿 方向传
11、播。其中 (7-37) 当工作频率 时，即 时， 为实数， 。此时 表示衰减，电磁波不可能在波导中传播。所以电磁波在波导中传播的条件是 。 由式（7-36）可以求得相应的截止波长 ，即 (7-38) 式中 为无限大媒质中的电磁波速度。,电磁波在波导中的相速度 为 (7-39) 电磁波在波导中传播时所对应的波长称为波导波长，以 表示，则 (7-40) 式中 为电磁波在参数为 ， 的无限大媒质中的波长，也称为工作波长。而波导波长与波导尺寸、工作模式有关。,波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波阻抗。由式（7-32）可以求得TM波的波阻抗为 (7-41) 式中 。 同理，由（7-34）可以求得
12、TE波的波阻抗为 (7-42) 由式（7-41）和（7-42）可见，当 （ ）时，波阻抗 和 均为纯虚数，表明横向电场与横向磁场有 相位差，因此，沿 方向没有能量流动，这就意味着此时电磁波的传播被截止。,在矩形波导中下标 和 （ ）相同 的 和 模具有相同的截止波长，截止波长相同的模式称为简并模，所以 和 模简并。 三、矩形波导中的主模 1.主模与单模传播 一般情况下矩形波导中的 ，所以 波的截止频率要比 波的截止频率低。具有最低截止频率的模式称为主模，所以 波是矩形波导的主模。 由前面介绍知道，工作波长小于截止波长的模式都可以在矩形波导中传播。因此，对于给定的工作波长，波导中可以存在多种传播
13、模式。,图7-4为矩形波导中各种模式的截止波长分布图，分为三个区域： I区：工作波长 ，波导中不能传播任何模式的波，称为截止区； II 区： ，波导中只能传播 波，称为单模工作区； III区： ，波导中可以传播多个模式的波，称为多模工作区。,图7-4 矩形波导截止波长分布,大多数情况下，要求矩形波导工作在单模工作区，即要求以 波传播。因此，为了保证矩形波导中仅仅传播 波， ， 。给定工作波长，波导宽壁尺寸应满足 （7-43） 而窄壁尺寸应满足 （7-44） 工程上常取 ， 。,2.主模的场结构,将 代入式（7-34），可以得到 波的场量表达式为 (7-45) 各分量对应的瞬时表达式为 (7-46),由式（7-46）可见， 波只有 、 、 三个场量不等于零，且这三个场量均与 无关，即电磁场沿 方向没有变化。电场 沿 方向呈正弦分布，在波导宽壁有半个驻波分布，且在 和 处电场为零，在 处电场最大值。 波
