三章走向混沌的道路教学讲义

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1、第三章 走向混沌的道路,一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。,第五节 保守系统中的不规则运动,1可积与不可积系统 2扰动与KAM定律 3. 有理环面破裂与同（异）宿结构 4. 阿诺德扩散 5. 标准映射,保守系统,1可积与不可积系统,分析力学里人们常用广义坐标 q 和广义动量 p 来表示系统的变量，它们是系统哈密顿量正则共轭变量。 第一项为动能，第二项为势能。如果系统仅受势能力作用， 则系统机械能守恒，称为保守系统。实际系统还受耗散力作用，系统能量就不守恒，因此称为耗散系统（如：阻尼单摆、范德玻耳方程、洛伦兹方程、平方映射

2、等。) 取相空间某区域的全部状态为初始状态，区域形状将会因各代表点的运动速度可能不同而发生变化。 耗散系统因能量散失而有吸引子存在，相空间内所有轨线都要收缩到吸引子上，初始一定大小的相空间在运动中逐渐减小，在t 时趋向于零。 保守系统的里不存在吸引域，也就不会有吸引子，相空间是守恒的。,保守系统,耗散系统的相空间在运动中逐渐减小，在t时趋向于零 保守系统的相空间是守恒的,1可积与不可积系统,可积系统,由正则方程得无阻尼单摆方程：,两边同乘,得全微分方程,积分,积分常数 C 称为运动积分,说明自由单摆是一个完全可积系统，运动状态由能量决定,1可积与不可积系统,可积系统,不是所有的哈密顿系统都可以

3、化成全微分形式，因此它们是不可积的（或者说没有运动积分）。 一般将哈密顿系统分两类：完全可积的与不可积的。实际上完全可积系统是极少数，绝大多数系统是不可积。 对一个N自由度的保守系统，其哈密顿 为N对广义动量 p1, p2, , pN与广义坐标 q1, q2, qN 的函数，运动方程为: 如果完全可积，要求有N个独立全微分方程，即要有N个独立的运动常数 C,1可积与不可积系统,由正则共轭变量(p,q)可变换出另一对正则共轭变量 ，称作用-角度变量。对单自由度系统 母函数 用了变量 以后，运动方程为 积分得 上式说明I 与系统能量E 一样，也是运动积分， I=I(H)可以写为I(E)。 第二式定

4、义了系统运动频率： ，它不是常数，与I 有关，是非线性的。的一个重要特性是周期性，在一个周期内 S 的变化为：,作用-角度变量,1可积与不可积系统,简谐振子,以单位质量的简谐振子为例，它的哈密顿函数为： 由 得 由哈密顿函数可得 采用作用变量与角变量定义，得,1可积与不可积系统,环面运动,采用作用变量与角变量之后，一个保守系统可以用相空间内的环面上的运动来表示。 对N自由度系统，一切周期的或准周期的有界运动，是在 2N 维环面上的具有 N 个频率的运动。 对2自由度系统，有两组作用-角度变量： 与 ，相空间是四维的。 给出一组 的同心圆， 是环绕这组圆的转角， 给出另一组同心圆。 如能量E 恒

5、定，相空间中的运动由四维降低到三维，运动限制在三维能面上。在 为常数的二维环面上，有：,1可积与不可积系统,环面运动,当系统两个特征频率比 w=1/2 为有理数，运动是周期的，轨线经有限次的绕环后闭合，环面由无数条周期轨道组成，称为有理环面。 如w为无理数，称为无理环面，环面由无数条准周期轨线组成，每一条轨线都随时间一圈一圈地覆盖整个环面。如在 =常数处设置一平面(庞加莱截面)，则截面上那些环面曲线与截面交点构成了一个圆。,二维环面运动,1可积与不可积系统,扰动,2扰动与KAM定律,设系统未受扰动时运动是可积的，哈密量为 ，受扰动时的哈密量为： 为无量纲参数，它决定扰动的强度。如周期为T的扰动

6、，则扰动可为 将展开成级数 式中n为扰动频率，n,m 某整数。 代入运动方程 积分得,将零级近似代入运动方程解得一级近似解 系统的运动频率与 I 有关，当在某个值Ir上出现扰动频率v与系统(Ir)频率间的共振时，则： 或 因为(Ir)与Ir 有关，因此此时的共振称为非线性共振。当发生非线性共振时，一级近似解中分式的分母等于零，得到发散得结果，这就是著名的小分母发散问题。,扰动,2扰动与KAM定律,扰动将对系统产生两种不同的影响： （1）非线性共振：一个很小的扰动可将导致有理环面发生重大改变。这相应于相空间的共振有理环面。 （2）非共振情况：相应于无理环面。这是动力学的一个久未解决的问题。195

7、4年，前苏联数学家哥尔摩格洛夫(Kolmogorov)提出了一个环面不变定理，后来为阿诺德(Arnold)所证明，美国数学家莫瑟(Moser)在某些条件下也证明了该定理。现在常称为KAM定理。 该定理考虑一个近可积系统，即对一完全可积系统施加了一个很小的完全不可积扰动。 KAM定理：如果扰动很小，大多数非共振的不变环面并不消失，只是发生一些微小的变形。满足KAM定理的绝大多数轨道，其运动仍然限制在N维环面上，环面上的运动仍然是准周期的。这些未被破坏的环称为KAM环。,KAM定理,2扰动与KAM定律,3. 有理环面破裂与同(异)宿结构,扰动的一级近似解没有回答非线性共振对有理环面的影响。数学上可

8、用庞加莱截面解决。 未受扰动时，在给定能面中取 q2=常数 的庞加莱截面，轨线与截面的交点在 I1=常数 的圆上。 轨线相继两次穿越截面的时间间隔： q1 每次的改变量为 庞加莱截面上点的运动为一二维映射，称为扭转映射： 受扰动时（0），扭转映射T0变成T，略去下标后有 式中f与g由扰动项确定。,扭转映射,3. 有理环面破裂与同(异)宿结构,研究绕卷数 的有理环面在扰动下的变化。 记有理环面为Go ，它为一个由映射Tom的不动点组成的圆。两条不变曲线G+ 与G- ，它们分别位于Go 的两边。 在Tem的作用下，在每个q =常数的圆半径上，存在着转动角度刚好2p的点，它们只有径向移动而没有转动，

9、这些点连结起来构成了在Tem作用下的曲线Ge ，Tom的映像闭合曲线Tom(Ge)。 曲线Ge与Tom(Ge)两者保围的面积相等且相交，共有2m个交点。,扭转映射对有理环面作用,3. 有理环面破裂与同(异)宿结构,Tom的作用： Go圆上的点刚好转动2p,曲线G+上的点转动小于2p,曲线G-的点就转动大于2p。因此Go上的点不动，G+的点顺时转动，G-的点逆时转动。 Tem的作用：如扰动 eV 很小，Tem的作用不会改变与圆上点转动情况，顺时针或反时针转动均不会变化，只是在每个q =常数的圆半径上，存在着转动角度刚好2p的点，它们只有径向移动而没有转动，将这些点连结起来，就构成了在Tem作用下

10、的曲线Ge 。 此外,还有Tom的映像闭合曲线Tom(Ge)。由于保守系统，曲线Ge与Tom(Ge) 两者不仅保围的面积相等，且相交，共有2m个交点。根据相交点附近点移动的走向，可判定其中一半是椭圆点，另一半是双曲点，它们相间地分布。 椭圆不动点附近有较小有理环面，是一些区域较小的规则运动。扰动也将使它们受到破坏，情况与上面相类似。扰动产生更高一级的椭圆不动点及围绕它们更较小一级的规则运动区。如此的破坏过程还会继续发展下去，以至产生规则与不规则运动交织在一起的无穷堪套的自相似结构。,扭转映射对有理环面作用,3. 有理环面破裂与同(异)宿结构,无阻尼单摆，或负线性恢复力杜芳方程相图上，均有四条流

11、线通过界轨线上的双曲不动点，其中两条流向双曲点，另两条背离双曲点。 数学上称这些流线为不变曲线或流形(manifold)。与相图上的真正相轨线不同，现在这些双曲点出现在环面截面上，它们由截面上的点构成。 两条背离双曲点的流线称为稳定流形ws，两条流向双曲点的流线称为不稳定流形wu。若沿着一条稳定流形ws从双曲不动点O出发，将会连接到的一条不稳定流形wu进入双曲点O。 若前后两个是不同的点,称为异宿点，当前后两个是同点,称为同宿点。,同(异)宿点,3. 有理环面破裂与同(异)宿结构,(1) 系统受到小幅周期性扰动，对同宿点，代表点沿着稳定流形离开双曲点后，不会连接到不稳定流形而进入双曲点，一般是

12、与不稳定流形相交(异宿点情况相似)； (2) 一旦发生相交，交点上的流形与同宿点或异宿点特点相同：即两条流入流线与两条流出流线，但它们不是不动点。,同(异)宿结构,过双曲点是不变曲线，线上的点经过多次映射不会跑出该线。,扰动的影响是：,同宿结构,3. 有理环面破裂与同(异)宿结构,同(异)宿结构,异宿结构,(3) 由于映射是连续的，在双曲点O外会产生一系列新同宿点，且要反复作用无限次数才能沿着接近到双曲不动点O。 (4) 在到达双曲不动点O前，流线与交叉产生的同(异)宿点越来越密，总共有无限多个点。由于是保守系统，相继两次交叉所包围的面积是定值，于是越趋近双曲不动点O，在新宿点会越来越密同时，

13、振荡幅度越来越大。,扰动的影响是：,4. 阿诺德扩散,若不可积扰动足够小， KAM无理环面仍然可以保持，有理环面发生破裂，产生出一系列新椭圆不动点与双曲不动点。新生椭圆不动点在扰动连续作用下，又产生出更小一级的椭圆不动点与双曲不动点； 在双曲不动点附近，通过不动点的稳定与不稳定流形构成复杂的异宿结构。它们是二维环面上的非规则运动区。KAM环面将环面上规则与非规则的运动区域分隔开来。在整个环面上共存了规则的与非规则的运动。,扰动对二维环面运动影响,4. 阿诺德扩散,高维KAM环面能否成为等能面的边界，对不满足KAM定理的导致不规则运动的少数轨道(即不稳定轨道)起限制作用。N个自由度系统具有2N维

14、的相空间和2N1维等能面。 N维环面成为等能面边界的条件：N2N2。即只有N2系统的环面才有可能把等能面包围起来或分割成几个部分。N3系统不会满足这样条件。 高维相空间里KAM环面不会被等能面隔离，不稳定轨道会在各个KAM环面之间来回穿行，并逐步扩散到整个等能面上去，这种现象被称为阿诺德扩散。,高维空间的阿诺德扩散,5. 标准映射,与耗散系统中两系统间的同步与锁模相对应，单自由度保守系统受周期性外力作用时产生不规则运动。系统哈密顿为： 运动方程为： 选取时间系列：t0, t1, t2,， 运动方程退化为离散映射： 该映射给出 I 和 q 在前后两个时间点 上关系，又可写成：,离散映射,T为扰动

15、的特征时间,5. 标准映射,稳定性条件,设扰动势只与广义坐标 q 有关：,二维映射,二维映射,稳定性条件为：,本征值方程,本征值方程的解,5. 标准映射,采用无量纲作用量,略去常数相位因子,由不动点的条件 即：,标准映射,可得由此可得两个奇点 与耗散系统圆映射情况有点相似，在保守系统中，标准映射给出的复杂运动行为与参数K 取值有关。对不同参数K 值进行数值计算，并画出I-q 平面上的相 。,标准映射,5. 标准映射,随机海,K=0.5时 ，在周期1与周期2区之间，除了一些横贯左右的点线外，还存在一些光滑曲线。点线是破裂了的有理线，光滑曲线是没有破裂的KAM不变线。说明随机性受KAM不变线约束而

16、存在于局部区域内； K=1.0时 ，周期1与周期2区之间的光滑曲线消失，成了弥散点，KAM线破裂了。随KAM不变线破裂，局部随机区逐步向全局扩散，汇成广泛弥散开的大海随机海(Stochastic sea)。这是一种全局性的混沌形态。,5. 标准映射,标准映射相图,第六节 电子混沌电路,1.外激励的非线性LC谐振电路 2.微分方程的模拟电子电路 3.实际动力体系的电子模拟电路,如果在通常的LC谐振电路中，使用非线性电阻、电容或电感等一些非线性电子元件，如果这些元件的数值（电阻值、电容量或电感量）是外加电压或频率的函数，就构成一种非线性 LC 谐振电路，在合适的驱动电压作用下，将会呈现非线性动力学系统的混沌特性。 这里以单结晶体管作为非线性电阻，变容二极管作为非线性电容为例，介绍一下外激励非