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1、科技信息 不管是 2 0 世纪 6 0 年代的 “新数学” 运动还是 7 0 年代的 “回到基 础” 运动， 都给学生留下了许多遗憾， 如在 “新数学” 运动中学生不仅没 有掌握所要求的抽象概念而且学生的数学学习积极性受到挫折，以至 没有掌握改革前学生所成功掌握的一些基本技能， 而 7 0 年代的 “回到 基础” 集中于训练学生的死记硬背的机械技能， 因此这代学生缺乏数学 探究和体验， 他们的思维方式和问题解决表现贫乏。这导致了 8 0 年代 改革的钟摆开始向 “问题解决” 方向摆动， 这次改革希望吸取以上两次 改革的教训， 培养并引导学生重视数学化与数学的抽象过程， 同时促进 他们发展和运用
2、这些数学工具解决问题的兴趣与能力。 从 9 0 年代起对 数学问题解决的探讨达到高潮。目前 “问题解决” 作为数学教学的新趋 势， 已为国内外教育同行所认同。许多数学教育学家、 心理学家正在对 问题解决进行大量系统的研究， 提出了许多精辟的见解， 对培养和发展 学生能力、 推动数学教育改革很有学习和借鉴意义。 1 . 数学问题及问题解决 1 . 1 数学问题 分析国内外具有代表性的关于数学问题的定义，大致可以归结为 以下几类： （1 ） 数学问题是一种需要行动的情况。 最早提出这一观点的是波利 亚。F . 贝尔进一步认为：“数学问题的解决是解决数学中的一个情况， 而 解决这一情况的人， 又把它
3、看作是一个问题” 。 （2 ） 数学问题是一种情景。 曹才翰在 数学教育学概论 中指出：“解 决问题是人们面临新情景、 新课题， 发现它与主客观需要的矛盾， 而自 己却没有现存对策时， 所引起的寻求处理问题的一种心理活动。” （3 ） 数学问题是一种题系统。 奥加涅相从系统论角度对问题解决做 出解释：“我们来研究系统 （S , R ） ， 其中 S 代表某个主题， R代表构成一 个抽象 （或具体 ） 系统的集合， 我们称集合 R为题系统” 。我国的戴再平 数学习题理论 也是用了这一说法。 （4 ） 数学问题是数学模式序缺。 王秋海在 “数学问题” 探析 中基于 数学问题的产生根源、 演化机制与
4、最终结果提出数学问题新定义， 所谓 数学问题, 就是以潜问题的形式被主体数学心理场所感知的数学模式序 缺。 （5 ） 数学问题是一种集合。 斯托利亚尔在 数学教育学 中给出了更 为抽象的定义： 用数学术语记号叙述在某一个 “对象领域” 。 这种对象领 域可以用一个或几个集合， 这几个集合能并成一个全集， 与其中规定的 谓词构成的问题成为数学问题。 通常人们采用的数学问题的定义是： 对人具有智力挑战特征的， 没 有现成的直接方法、 程序或算法的未解决问题的情境。 另外， 人们为了全面地刻画 “数学问题” ， 通常用它的特点 （或条件 ） 来作补充。 较为普遍的提法有：（1 ） 接受性、 障碍性和
5、探究性；（2 ） 非常规 性、 情境应用性和探究性。 1 . 2 数学问题解决 在数学教育中， 对问题解决的解释通常有以下几种： （1 ） 作为目的的 “问题解决” 贝格( B e g l e ) 认为：“教授数学的真正理由是因为数学是应用极广的 学科, 特别，教授数学还有利于解决各种各样的问题” 。伯朗费尔德 ( B r a u n f e l d ) 将数学描述为培养及锻炼解决问题能力的手段。把 “问题解 决” 看作目的时， 它就独立于特殊的问题， 独立于一般过程或方法以及 数学的具体内容。此时， 学习怎样解决问题是学习数学的根本原因。这 种观点会影响到全部数学课程基调的确定，并对课堂实践
6、有重要的指 导作用。 （2 ） 作为过程的 “问题解决” 问题解决常常被看作是能动的、 不断发展的过程， 它是通过数学思 维，不断数学化的过程，是一个探索、发现、创新的过程。雷伯朗斯 ( L e B l a u c e ) 认为：“在解决问题时， 个体已形成的有关过程的认知结构被 用来处理个体所面临的问题。” 美国全国数学管理者大会( N C S M ) 把 “问 题解决” 定义为： 将先前已获得的知识用于新的、 不熟悉的情境的过程。 事实上，美国教育界对个体解决问题的过程是怎样进行的问题还没有 清楚地认识。 坎兰斯基( K a n l o n s k i ) 曾试图用信息过程理论检验教授解决
7、 问题的过程， 但这个努力的进程是缓慢和艰难的。 （3 ） 作为数学能力的 “问题解决” 数学教育的主要目的是培养学生的数学能力，而问题解决的能力 正是数学能力的核心， 它是其他基本能力的组合和发展。这时， 问题解 决可定义为把数学用于各种情况的能力。 （4 ） 作为数学活动的 “问题解决” 学数学的最好方法是做数学， 同样地， 学习问题解决的最好方法是 进行问题解决活动。它是一类最重要的数学活动， 如运算、 推理即建立 模型等活动, 学生正式通过亲身投入的问题解决活动来学习问题解决 的。 （5 ） 作为教学形式的 “问题解决” 问题解决的教学应面向全体学生， 提倡教师与学生、 学生与学生之
8、间的讨论和交流， 它应与其他教学方法有机结合， 且贯穿于整个教学过 程之中， 它是合理课程不可缺少的有机组成部分。 （6 ） 国内学者对 “问题解决” 还有许多解释， 如问题解决就是指把实 际问题引入到数学教学之中， 或者说， 应当使数学问题具有明显的现实 意义； 问题解决就是对于各种解题技巧的强调； 问题解决就是指让学生 独立地去解决问题， 等等。 然而心理学中对问题解决又有这样三种不同的观点：（1 ） 问题解决 是指向某些目标的一系列智力运算；（2 ） 问题解决是一种特殊类型的学 习；（3 ） 作为学习的反面。毕恩材从哲学的角度提出了问题解决的质和 本质的概念。 2 . 数学问题解决的功能
9、及其在教学中的作用 （1 ） 掌握理解知识的功能 数学是由概念、 定义、 定理、 公式、 公理等组成的知识系统， 数学知 识体系展开的基本形式是不断地提出数学问题，并在解决问题的过程 中逐步建构起来和精心组织起来的。学习过程中个体对知识的理解不 能仅靠别人的告知， 而是要亲身参与并在活动中不断总结、 反思， 有意 识地进行自我批评并不断的重组、 整合、 调整自己的知识结构。 （2 ） 认识的功能 学习过程是认识主体在一定条件下对客观事物的反映过程，是一 个主动建构的活动。 数学问题解决为学习者提供了认识的场所和机会， 对于个人的发展将产生重要的影响。 （3 ） 教育与发展的功能 数学问题解决是
10、一种复杂的智力劳动， 是最富创造性特征的活动， 对于提高学生的思维能力、 促进思维水平发展有着得天独厚的条件。 由 于问题解决也是一种教育情景，可以引导学生初步认识科学规律发现 与建立的基本途径和思维框架，体会到数学工作者应具备的某些基本 素质和思维方式， 培养更多的有数学头脑的人才。 （4 ） 评价和调节的功能 当前数学学习成就的评价仍主要以问题解决的成效为衡量标准， 这就难免由于教育体制上尚存的弊端和工作上的处置不当而诱发对问 题解决技巧方面的片面追求。审时度势、 随机应变是人类的优势， 也是 问题解决的重要特征。 因此要重视其他领域并把它们纳入评价的范围， 使得通过评价真正起到促进人的全
11、面发展。通过问题解决在自我评价 和教师指导下，将自己的活动作为意识对象进行监控并积极调节自己 的行为。 3 . 数学问题解决的模式及心理机制 长期以来， 许多数学教育家、 心理学家以及哲学家， 通过剖析问题 解决这一复杂的思维过程， 提出了若干模式。 （1 ） 杜威的五阶段说 早在 1 9 1 0 年， 杜威( J o h n D e w e y ) 在其著作 我们如何思考 中， 就将 这一过程分成五个阶段： 感觉疑难； 确定疑难所在并加以解释； 提出可能的答案； 考虑各种结果； 选择一种解答方法。这一模式强 调三个特点： 感觉的敏锐性、 思维的周密性和鉴别的能力水平。 （2 ） 描述性研究
12、将问题解决描述为循序渐进的程序。 1 9 5 7 年波利亚提出了一个 “怎 样解题” 表包括四步： 理解问题拟定计划实行计划回顾解答。美 国数学教育家 A . S c h o e n f e l d 通过实验观察， 将一般数学解题的思考过程 归结为： 了解问题； 尝试理解策略； 试探一些思路； 寻找新信息 和局部评价； 实施计划； 证实； 以上各个阶段之间的联络和转变。 曹才翰等提出如下模式：呈现问题分析问题联系行为的选择 检验。 （3 ） 由皮亚杰发展而来的问题解决研究途径 与只是发展问题相关，皮亚杰用问题解决作为一种儿童心理成长 过程的研究手段，指出问题解决能力与特殊心理结构的本体论发展有
13、 关， 提出问题解决的途径： 形成问题空间； 搜寻问题空间。 搜寻问题 空间的途径有规则系统途径和启发式途径。 （4 ） S - R心理学的问题解决途径 该理论强调问题解决作为反应的出现，这种反应在特定条件下出 现的最初可能性较低。 R . S 武德沃斯认为， 问题解决的模式可归结为： 刺 激反应， 简单地表示为 S - R 。皮亚杰修正为 R S R ， 强调了其间双 向联系。 （5 ） 格式塔和新格式塔的理论框架 格式塔心理学认为： 问题解决是观念的加工， 问题解决过程即问题 组织的重新建构， 其间伴随着顿悟体验。 尽管心理学家、 数学教育家对问题解决模式的描述各有所以， 当总 括来说，
14、大都注意了这一复杂过程的阶段性， 强调感觉、 思维及选择的 能力水平， 注意以启发式来引导、 描述各阶段的发生过程。我国学者整 合国内外有关 “问题解决” 过程的各种看法， 提出了问题解决的一半模 式， 分为 5 个阶段： 问题识别与定义； 问题表征； 策略选择与应 用； 资源分配； 监控与评估。 数学问题解决研究综述及其启示 内江师范学院数学与信息科学学院吕晓亚 高校理科研究 5 1 4 科技信息 4 . 数学问题解决的过程及教学途径、 思维策略 数学问题解决的过程是： 分析问题背景， 寻找数学联系； 建立 数学模型； 求解数学问题； 检验； 交流和评价； 推广。在数学问 题解决的教学过程中
15、， 既要注重保证学生的主体地位， 又要重视教师主 导作用发挥， 二者相辅相成， 不可偏颇。 数学问题解决的教学途径主要是： 创设问题情景， 精心选择 “好 问题” ； 形成知识组块， 建构知识体系； 加强数学解题思维策略的训 练； 引导学生开展探索活动。 美国贝尔在 中学数学的教与学 中， 以接替的模式为基础， 构建了 问题解决教学的五步模式： 以一般形式提出问题； 把问题重述为可 解的形式； 提出假设和解决问题的过程； 检验假设和运用解决问题 的方法； 检验问题的解和分析解决的方法。 前苏联马赫穆托夫的问题 教学理论中也包括了一套十分完整的实施方法。我国的袁小明先生针 对我国的实际， 提出了
16、具有 “以教材为中心来选择和编制问题； 在教学 要求所允许的范围内， 通过对教法的改革开拓问题的教育价值； 注意解 题的归纳与思维的训练” 三个特征的 “中国式的问题解决教学模式” 。 关于解题策略的研究， 由于出发点及分类的不同， 因而对其提法也 有所差异。总括起来， 大致有以下方面： 目标策略； 知觉策略； 模 式识别策略； 问题转化策略； 特殊化策略； 逆向策略； 整体策 略。李友国老师提出了 1 3 条策略， 有的还对辩证思维策略进行了较为 深入地探讨。 5 . 数学问题解决与元认知分析 近十年来， 通过实验研究， 人们对元认知有了深刻的理解。B e r a r - d i - c o l e t t a 等用传统的河内塔问题进行研究， 把被试分为元认知、 认知加 工、 表面加工、 出生思考和无声对比五个组。 结果表明， 元认知组和认知 加工组的学习效率和迁移测试的成绩最优。 这说明， 适当的问题 （如： 你 为什么那么做 ） 可以激发人的元认知加工过程， 可以使人的注意力从指 向问题本身转移到人自身的加工过程， 从而能使人跟好地监视、 评价、 调节、 修正自己的认知活
