18-高斯投影

测量工程与装备系: 范 百 兴,2017年6月9日,高斯投影Gauss Projection,本次课程主要内容,高斯投影概述 正形投影 高斯坐标正反算 子午线收敛角 角度和距离改化 高斯投影邻带换算 工程投影面的选择,§8.1 高斯投影概述,1. 地图投影 将椭球面上各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上研究这个问题的专门学科叫地图投影学投影方程 x=F1(L,B) y=F2(L,B) 式中L,B是椭球面上某点的大地坐标，x,y是该点投影后的平面直角坐标，这里所说的平面通常称为投影面投影后，距离、角度、图形都可能产生变形，称为投影变形 等角投影（正形投影）、等距投影、等积投影,2. 高斯投影的基本概念,控制测量要求采用等角投影，并且要求长度和面积的变形不大，因此多采用分带投影法，即高斯投影，又称横轴椭圆柱等角投影高斯1825-1830年提出，1912年克吕格推导出实用公式，所以该投影又称高斯-克吕格投影 中国采用6°或3°带进行投影，工程测量采用1.5带和任意带投影，但需要同国家投影带进行联系。

§8.1 高斯投影概述,3. 椭球面三角形化算到高斯投影面,§8.1 高斯投影概述,PK=APK－P＋PK,s =S+s,§8.1 高斯投影概述,§8.2 正形投影的一般条件,正形投影的本质特征是长度比与方向无关1 . 投影中的长度比推导,在微分△P1P2P3中， dS2=(MdB)2+(NcosBdl)2在微分△p1p2 p3中， ds2=dx2+dy2,则长度比：,§8.2 正形投影的一般条件,投影条件写成 x=x(l,q) , y=y(l,q) 则：,§8.2 正形投影的一般条件,公式中：,代入度比公式可得：,§8.2 正形投影的一般条件,2. 在长度比中考虑方向因素,进一步可得：,欲使m与A无关，须使 F=0，E=G，即：,§8.2 正形投影的一般条件,经整理可得：,平面正投影到椭球面的一般条件：,此即椭球面到平面正形投影的一般公式，称柯西-黎曼条件，此时的长度比公式为：,§8.2 正形投影的一般条件,§8.3 高斯投影坐标正反算公式,1. 高斯投影坐标正算公式,高斯投影必须满足的3个条件：  ① 中央子午线投影后为直线； ② 中央子午线投影后长度不变； ③ 满足正形投影条件。

将上述两式分别对 l 和q 求偏导,并代入关系式可得:, m2 , m3 , …,§8.3 高斯投影坐标正反算公式,§8.3 高斯投影坐标正反算公式,2. 高斯投影坐标反算公式,高斯投影反算时，投影函数B=1(x,y)和 l=2(x,y)满足以下条件： ① x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； ② x坐标轴投影后长度不变； ③ 高斯投影面上的角度投影到椭球面上，角度仍然相等§8.3 高斯投影坐标正反算公式,2. 高斯投影坐标反算公式,注：x的垂足纬度Bf 即(x,0) 所对应的纬度§8.3 高斯投影坐标正反算公式,§8.5 平面子午线收敛角公式,平面子午线收敛角的定义,(L,B)：,计算公式,由图:,将高斯投影正算公式代入并进行整理得:,(x,y)：,计算公式,§8.5 平面子午线收敛角公式,§8.6 方向改化公式,方向改正数是大地线投影曲线和连接大地线两点的弦夹角方向改正数近似计算公式,该式计算误差<0.1"，适用于三、四等三角测量计算较严密计算公式,§8.6 方向改化公式,方位角的改正,§8.6 方向改化公式,天文方位角天文和大地方位角A A= 天文-(-L) sin+u L为测站点的大地经度， 为测站点的天文经度， 为测站点的天文纬度， u为垂线偏差改正数,大地方位角A和坐标方位角坐标 坐标= A -  + 其中 为子午线收敛角，为投影后方向改化值,§8.7 距离改化公式, S s D, S D,可认为s=D,长度比公式,距离改化公式,§8. 8 高斯投影的邻带换算,应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算,直接使用公式,(x,y)1  (L,B)  (x,y)2,§8. 11 工程测量投影面与投影带选择的概念,地面观测水平距s归算到椭球面上需加改正:,工程控制测量的投影主要是长度变形问题，主要由以下两个方面原因：,1. 投影变形,则归算边长的相对变形为：,§8. 11 工程测量投影面与投影带选择的概念,参考椭球面边长归算到高斯面上的变形：,投影的总变形,§8. 11 工程测量投影面与投影带选择的概念,2. 工程测量平面控制网的要求,由控制点坐标反算的边长与实际测量边长相，即投影变形应该小于施工精度要求，一般取限差的1/2作为投影变形的误差值。