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1、勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann积分（简称积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。首先介绍一下在有界函数范围内，积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面1：积分与极限可交换的条件太严。积分运算不完全是微分运算的逆运算。不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。缺乏单调收敛。鉴于积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue积分（简称积分）。那么，建立积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？积分的思路也基本与积分一样先分割，作积分和，取取极限
2、。在重新审视积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立积分的思路浮现出来。首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现的不定情形的出现，在定义积分时第一步仅限于非负函数。其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到积分“横着数”的思想。下文将详细的介绍积分和积分的区别和联系。关于Lebesgue积分与Riemann积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义3: 定义1：设是上的非负可测函数.我们定义是上的Lebesgue积分是上的非负可测简单函数，这里的积分可以是+;若,则称在上Lebesgue可积的。设是上的可测函数,
3、若积分，中至少有一个是有限值,则称为是上的Lebesgue积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称是上是Lebesgue可积的。定义2：设是一个勒贝格可测集，是定义在上的勒贝格可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组,记,并任取（我们约定，当时，），作和如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于勒贝格测度的积分，记作.定义3：设是 上的有界可测函数。作的任意分割=,其中为互不相交的非空可测子集。设,则的大和及小和为设在上的上下积分为若则称在上是可积的,且称该共同值为在上的Lebesgue积分,记为。为了便于与R积分的定义比较我罗列了L积分的三
4、种定义，这三种定义是等价的。由定义1定义L积分的方法可称为逼近法，所谓逼近法就是从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法. 由定义2、3定义L积分的方法可称为划分法，所谓划分法就是类似于积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上给出L积分。对于定义1的逼近法比较繁琐但是这种定义易于与R积分的定义比较，下面是R积分的定义。12 黎曼积分的定义不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。这就是黎曼积分定义的大概描述。严格定义如下：定义1：S是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割只要它的子区间长度最大值 ，就
5、有： 也就是说，对于一个函数，如果在闭区间上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么在闭区间上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数为黎曼可积的。这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。定义2设是定义在上的有界函数，任取一分点组T将区间分成n部分，在每个小区间上任取一点,1,2,3,.作和令，如果对任意的分发与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上的黎曼积分，记为 定义3：是函数在闭区间a,b上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在一个取样分割，使得对于任何比其“精细”的分割和 ，都有：
6、如果有一个满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于，于是满足：上面对黎曼积分的三种定义都是等价的。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的（具体见达布积分定义）其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与相差不超过 。令等于，其中和是在上的上确界和下确界。再令是和中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于时， 关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差，所以和至多相差。由于以上原因，黎曼积分通常被定义
7、为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。从定义上看，它们的主要区别是：积分是“竖”着分割区间，而积分是“横”着分割值域.前者的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；后者的优点是函数在上的振幅较小，但一般不再是区间，而是可测集.其度量的值一般不易给出.对定义域与对值域的分割是积分与积分的本质区别，对值域进行分割求积分的方法使中的点分成几大类，更简单明了.另外，积分理论是在测度理论的基础上建立的,测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅限于上.然而就是这一点点的差别，
8、使这两种积分产生了本质的区别,使勒贝格积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质.这在下面的讨论中可以很清楚的看到.2关于Lebesgue积分与Riemann积分的计算比较前面介绍的积分定义显然过于理论化，很难看出有固定的计算稳定。积分是否只有理论上的意义呢？当然不该如此，下面的内容我们讨论黎曼可积与勒贝格可积之间的联系，再利用这种关系给出一些简单情况下的积分计算方法。先约定一些符号，设是上的有界函数，是非退化区间，记 称是在上的振幅，是在点处的振幅。当函数确定时，与简记为与。我们有这样几个定理1：定理1： 设是定义在上的函数，则(1)对任意，在点连续当且仅当(2)集合是闭集。定理2：区间上的有
9、界函数黎曼可积的充要条件是集合的测度为0.定理3: 若有界函数在上黎曼可积，则在上也是勒贝格可积，且积分值相等，即 定理2说明积分是积分的推广，定理3说明对于非负函数而言积分也是反常积分的推广，但是一般情况下积分并不是反常积分的推广，这主要因为积分是绝对收敛的积分而收敛的反常积分并不一定绝对收敛。所以不能以为L积分包括了R积分就得出L积分比R积分优越的结论。然而L积分对于R积分来讲确实有本质上的进步。 例1：设上的函数计算.解：因是零测集，故在上因此得 例2令则在上连续，在上的反常积分收敛且。但是，同理，。所以在上不是积分确定的，当然不是可积。3从极限理论上比较分析勒贝格积分和黎曼积分的优缺点
10、31 勒贝格测度与积分控制收敛定理勒贝格可测：数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集的体积或者说测度记作。一个值为的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。勒贝格控制收敛定理 ：设为一个测度空间， 是一个实值的可测函数列。如果逐点收敛于一个函数，并存在一个勒贝格可积的函数，使得对每个，任意，都有则：1：也是勒贝格可积的，；2：
11、其中的函数一般取为正值函数。函数列的逐点收敛和的性质可以减弱为几乎处处成立。由此我们可得到积分的几个优点。32 勒贝格积分的优点L积分优点1：在积分中逐项积分问题，也就是积分与极限过程交换顺序问题，条件相当苛刻，要求被积函数一致收敛，极限才能通过积分号，这从运算的角度来看不仅不方便，而且限制过强，而积分比积分要求的条件小得多，对非负函数项级数几乎可无条件地逐项积分，就控制收敛定理而言，只须存在控制函数,使得即可，因此在极限换序上积分比积分灵便得多。例如：狄克莱函数,把上的有理点依次排列成：作函数列则处处收敛于，且，在积分意义下由Lebesgue控制收敛定理 ()但不是可积，尽管在积分意义下，有
12、： ,也谈不上()成立。 L积分优点2：在积分中可积，有也可积，但反之不成立.例如=,在上可积，但不可积，其大和为1，小和为-1,而在积分中有很好的结论，积分是绝对收敛积分。即：在集合上可测， 可积的充分必要条件是可积，这给研究问题带来了许多方便。例如：设在E上可积，试证：f(x)在E上可积非负可积.（详见东北师大霍殿清等编实变函数学习参考与习题解答第68页.）其中L积分优点3：在积分下二重积分化成累次积分计算时，要求被积函数在积分区域上连续，这一要求是比较高的，运算起来不方便，特别是对非负可测函数来讲，可无条件地化成累次积分，这些结果运用起来比较方便。参考文献1 程其襄,张奠宙,魏国强.实变函数与泛函分析基础M.北京:高等教育出版社,1983.97138.2 东北师大霍殿清等编实变函数学习参考与习题解答第68页.3 郭懋正.实变函数论与泛函分析M.北京:北京大学出版社,2005. 9192.4 华东师范大学数学系.数学分析（上）M.北京:高等教育出版社,1981.200203.5 王照凯.勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系，J.6 张君贤.勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系, J.
