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1、一、微分的定义(Definition of Differential ),二、微分的几何意义(The Geometric Meaning of Differential),四、微分在近似计算中的应用 Application of Differential in Approximation,第四节 微分及其计算 Differential of a Function and the Rules for Differentiation,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 The Differential Formulas of the Basic Elementary Funtiond and
2、 the Rules for Differentiation,返回,一、微分的定义(Definition of Differential ),问题的提出,一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 由 变到 （如图），问此薄片的面积 改变了多少？,一般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量 可表示为,其中A是不依赖于 的常数,因此 是 的线性函数,且它与 之差,是比 高阶的无穷小,所以,当 ,且 很小时,我们就可 以近似地用 来代替,定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义， 及 在这区间内，如果函数的增量 可表示为 其中A是不依赖于 的常数，而 是比 高阶的无穷小，那么称y=f(
3、x)在点 是可微的， 而 叫做函数y=f(x)在点 相应于自变量增 量 的微分，记作dy，即,由定义知:,定理：y=f(x)在 可微的充分必要条件是f(x)在 处 可导，且当f(x)在点 可微时，其微分一定是,(1) 必要性,证明,Theorem: A function is derivable at x0 if and only if it is differentiable at x0.,(2) 充分性,例1,解,例2,解,返回,M,N,）,几何意义:(如图),二、微分的几何意义 The Geometric Meaning of Differential,返回,三、基本初等函数的微分公式与
4、微分运算法则The Differential Formulas of the Basic Elementary Funtiond and the Rules for Differentiation,函数的微分的表达式,求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式 The Differential Formulas of the Basic Elementary Functions,2. 函数和、差、积、商的微分法则(The Differential Rules of the Sum,Difference,Product,Quotient of Functions),复
5、合函数的微分法则 The Differential Rules of Composite function,与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则 可推导如下:,设 及 都可导, 则复合函数 的 微分为,上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变, 这一 性质称为微分形式不变性.,例3,解,例4,解,例5,解 应用积的微分法则,得,例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立.,解 (1)我们知道,可见,即,一般地,有,(C为任意常数),(2),即,(C为任意常数),返回,四、微分在近似计算中的应用 Application of Differential in Approximation,1 函数的近似计算,这个式子也可以写为,或,(4),(5),(6),解,例8,下面我们来推导一些常用的近似公式,(7),应用(7)式可以推得一下几个在工程上常用的 近似公式 :,证明:,其它几个近似公式可用类似方法证明,这里从略了,例9,解,这里x=0.05,其值较小,利用近似公式,便得:,如果直接开方,可得,将两个结果比较一下,可以看出,用1.025作为 的 近似值,其误差不超过0.001,这样的误差在一般应用上 已经够精确了.,
