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1、西安交通大学 线性代数与解析几何 典型例题 第第 4 章章 n维向量与线性方程组维向量与线性方程组 第一节第一节 消元法消元法 典型例题典型例题 （A） 例例 1. 若线性方程组AX 中， 方程的个数少于未知量的个数， 则有( ) (A) AX 必有无穷多解 (B) 0 0AX必有非零解 (C) 0 0AX仅有零解 (D) 0 0AX必无解 解解 应选(B). 方程的个数即系数矩阵A的行数m，未知量的个数即A的列数n，已知 nm ，则nmnmr,min)(A，故选(B). 注 0 0AX有无穷多解并不意味着AX 有无穷多解，AX 也可能无解. 例例2. 适用于任一线性方程组的解法是( ) (A
2、) 逆矩阵求法 (B) Cramer法则 (C) 消元法 (D) 以上方法都不对 解解 应选(C). 因为方程组的系数矩阵未必是方阵，即使是方阵，也未必可逆. 例例3. 通过消元法得到的阶梯形线性方程组与原方程组是 . 解解 应填等价或同解. 消元法实际上就是对),(A（或 A）作初等行变换. 例例4. 在线性方程组AX 中， nnij a )(A， ij A为 ij a的代数余子式， T 21 ),( n bbb，又已知 n i ii n j jj AbAa 1 2 1 22 4, 2，则未知量 2 x . 解解 应填-2. 由Cramer 法则即知2 2 4 2 x. 例例5. 下列齐次线
3、性方程组有非零解需满足 . 0 03 02 0 4321 4321 4321 4321 bxaxxx xxxx xxxx axxxx 解解 应填 2 ) 1(4 ab. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量个数，而 西安交通大学 数学与统计学院 西安交通大学 线性代数与解析几何 典型例题 ) 1(4 4 1 000 1400 1010 111 100 1400 1010 111 11 1311 1121 111 2 4 1 )1( 4, 3 , 2 34 1 ab a a a aba a a a ba a r a r rr i i 则 2 ) 1(4 ab. 例例6. 非齐
4、次线性方程组AX，对增广矩阵),(AA 施以初等行变换得 41000 31100 20110 10001 ，则其解为 . 解解 应填 T )4 , 1, 3 , 1 (. 因4)(),(AArr（也为未知量个数） ，故方程组有 唯一解：1, 32, 13, 4 132434 xxxxxx. 例例7. 非齐次线性方程组AX ，对增广矩阵),(AA 施以初等行变换得 000000 543210 111111 ，则其通解为 . 解 解 应填 T 3 T 2 T 1 T ) 1 , 0 , 0 , 4, 3()0 , 1 , 0 , 3, 2()0 , 0 , 1 , 2, 1 ()0 , 0 , 0
5、 , 5 , 4(kkk （ 321 ,kkk为任意常数）. 因2)(),(AArr，而未知量个数5n，又 000000 543210 432101 000000 543210 111111 21 2 )1( rr r ， 则有等价 （同解） 方程组 5432 432 5432 5431 xxxx xxxx ，于是有 000 000 000 5432 432 5435 5434 5433 5432 5431 xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx ，即 西安交通大学 数学与统计学院 西安交通大学 线性代数与解析几何 典型例题 0 0 0 5 4 1 0 0 4 3 0 1 0 3 2
6、 0 0 1 2 1 543 5 4 3 2 1 xxx x x x x x （ 543 ,xxx为任意常数） 例例8. 非齐次线性方程组AX ，对增广矩阵施以初等行变换得 1000 0210 4321 ，则其通解为 . 解解 应填无解. 因为2)(3),(AArr，故AX 无解. 例例9. 试用三种方法求下列线性方程组的解： 3533 2332 12 321 321 321 xxx xxx xxx 解解 因系数矩阵为方阵，且其行列式易算得01|A，故有： 方法一（逆矩阵法） 103230 012110 001121 100533 010332 001121 ),( 12 13 )2( )3(
7、 rr rr EA 133100 121010 376001 133100 012110 001121 31 32 21 23 3 2 )1( )2( )3( )1( )1( rr rr rr rr r r ， 则 133 121 376 1 A，唯一解 0 0 1 3 2 1 1 3 2 1 A x x x . 方法二（Cramer法则） 0 333 232 121 , 0 533 322 111 , 1 533 332 121 , 1|A唯一解0, 0, 1 321 xxx. 方法三（消元法） ： 0100 0110 1121 0230 0110 1121 3533 2332 1121 )
8、,( 2312 13 )3()2( )3( rrrr rr A 西安交通大学 数学与统计学院 西安交通大学 线性代数与解析几何 典型例题 0100 0010 1001 31 32 23 11 )1( ,)1( 2 rr rr rr rr ， 则3)(),(AArr， 有唯一解1, 0, 0 123 xxx. 例例10. 设线性方程组 287654 432 065432 54321 5432 54321 54321 xxxxx bxxxx xxxxx axxxxx (1) ba,为何值时，该方程组有解？ (2) 求其通解. 解解 (1) 对增广矩阵作初等行变换 a b a a b a rr rr
9、 4243210 43210 243210 11111 287654 43210 065432 11111 ),( 12 14 )2( )4( A B 记作 a ab a a rr i i 2200000 200000 243210 11111 2 )1( 4, 3 所以，当1a，则22ab时，方程组有解. (2) 由(1)知，将2, 1ba代入B中，再作初等行变换 243210 332101 243210 111111 21 )1(rr B有同解方程组 2432 332 5432 5431 xxxx xxxx ，即 000 000 000 2432 332 5435 5434 5433 54
10、32 5431 xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx ，则 0 0 0 2 3 1 0 0 4 3 0 1 0 3 2 0 0 1 2 1 543 5 4 3 2 1 xxx x x x x x ，其中 543 ,xxx为任意常数，此即为通解. 第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 典型例题（典型例题（A） 西安交通大学 数学与统计学院 西安交通大学 线性代数与解析几何 典型例题 例 1例 1. 设向量可由向量组 m , 21 线性表示，但不能由向量组I： 121 , m 线性表示，设向量组II: , 121m ，则 m ( ) (A) 不能由I线性表示，也不能由II
11、线性表示 (B) 不能由I线性表示，但可由II线性表示 (C) 可由I线性表示，也可由II线性表示 (D) 可由I线性表示，但不可由II线性表示 解解 应选(B). 因为如果 m 能由I线性表示，则依题意知也可由I线性表示，此与已知条件 矛盾，故 m 不能由I线性表示（所以选项(C),(D)已被排除）.依题意设 mmmm kkkk 112211 ，则必有0 m k，于是 1 1 2 2 1 1 1 m m m mmm m k k k k k k k ，所以选(B). 例 2例 2. 若向量组 T 3 T 2 T 1 ),(,)0 , 1 , 1 (,)0 , 0 , 1 (zyx线性无关， 则
12、必有( ) (A) zyx (B) 0zy (C) 0z (D) 0z 解解 应选(D). 行列式z | ),( | 321 ，所以选(D). 例 3例 3. 若向量,线性相关，则( ) (A) kk, 是非零数 (B) 其中必有一个零向量 (C) ,一定是非零向量 (D) ,对应分量成比例 解解 应选(D). (A),(B),(C)都不是必须的. 例 4例 4. 设n维向量组I: s , 21 及向量组II: t , 21 均线性无关，且 I中的每个向量都不能由II线性表示，同时II中的每个向量也都不能由I线性表 示，则向量组III: s , 21 , t , 21 的线性关系是( ) (A
13、) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 可能线性相关，也可能线性无关 (D) 以上均不对 解解 应选(C). (D)显然不对.现取I: )0 , 0 , 1 , 0(),0 , 0 , 0 , 1 ( 21 ，II: ) 1 , 0 , 0 , 0(),0 , 1 , 0 , 0( 21 ,则I、II满足题目所有条件，而III是线性无关的；又 取I: )0 , 0 , 1 , 0(),0 , 0 , 0 , 1 ( 21 ，)0 , 1 , 1 , 1 ( 3 ，II: ) 1 , 0 , 0 , 0(),0 , 1 , 0 , 0( 21 ，则 西安交通大学 数学与统计学院 西安交通大学 线性代数与解析几何 典型例题 I、II也满足题目所有条件，但III是五个四维向量必线性相关.所以选(C). 例例5. 向量组 m , 21 )2(m线性相关的充分必要条件是( ) (A) m , 21 中至少有一个零向量 (B) m , 21 中必有两个向量成比例 (C) m , 21 中至少有一向量可由其余向量线性表示 (D) m , 21 的任一部分组都线性相关
