《线性代数课后习题答案全解[122页]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课后习题答案全解[122页]（122页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) 381 141 102 ; 解 381 141 102 =2(4)3+0(1)(1)+118 0132(1)81(4)(1) =24+8+164=4. (2) bac acb cba ; 解 bac acb cba =acb+bac+cbabbbaaaccc =3abca3b3c3 . (3) 222 111 cba cba; 解 222 111 cba cba =bc2+ca2+ab2ac2ba2cb =(ab)(bc)(ca). 2 (4) yxyx xyxy yxyx + + + . 解 yxyx xyxy yxyx +
2、+ + =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yxy3(x+y)3x =3xy(x+y)y 3 33x2 yx3y3x =2(x 3 3+y3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序 数: ). (1)1 2 3 4; 解 逆序数为 0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为 4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n); 解 逆序数为 2 ) 1( nn : 3 2 (1
3、 个) 5 2, 5 4(2 个) 7 2, 7 4, 7 6(3 个) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1 个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2. 解 逆序数为 n(n1) : 3 2(1 个) 5 2, 5 4 (2 个) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1 个) 4 2(1 个) 6 2, 6 4(2 个) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n2) (n1 个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23 解 含因子a 的项. 11a23 (1) 的项的
4、一般形式为 ta 11a23a3ra4s 其中 rs 是 2 和 4 构成的排列, 这种排列共有两个, 即 24 和 42. , 所以含因子a11a23 (1) 的项分别是 ta 11a23a32a44=(1) 1a 11a23a32a44=a11a23a32a44 (1) , ta 11a23a34a42=(1) 2a 11a23a34a42=a11a23a34a42 4. 计算下列各行列式: . (1) 7110 02510 2021 4214 ; 解 7110 02510 2021 4214 0100 142310 2021 10214 7 32 34 = cc cc 34 ) 1( 1
5、4310 221 1014 + = 14310 221 1014 =0 141717 200 109932 32 1 1 = + + = cc cc . (2) 2605 2321 1213 1412 ; 解 2605 2321 1213 1412 2605 0321 2213 0412 24 = cc 0412 0321 2213 0412 24 = rr 0 0000 0321 2213 0412 14 = = rr . (3) efcfbf decdbd aeacab ; 解 efcfbf decdbd aeacab ecb ecb ecb adf = abcdefadfbce4 111
6、 111 111 = =. (4) d c b a 100 110 011 001 . 解 d c b a 100 110 011 001 d c b aab arr 100 110 011 010 21 + + = d c aab 10 11 01 ) 1)(1( 12 + = + 010 11 123 + + + =cdc adaab dcc cd adab + + = + 11 1 ) 1)(1( 23 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 证明: (1) 111 22 22 bbaa baba +=(ab)3 证明 ; 111 22 22 bbaa baba + 001 222 2
7、222 12 13 ababa abaaba cc cc = abab abaab 22 ) 1( 222 13 = + 21 )( aba abab + =(ab)3 (2) . yxz xzy zyx ba bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax )( 33+ = + + + ; 证明 bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax + + + bzaybyaxx byaxbxazz bxazbzayy b bzaybyaxz byaxbxazy bxazbzayx a + + + + + + + = bzayyx bya
8、xxz bxazzy b ybyaxz xbxazy zbzayx a + + + + + + + = 22 zyx yxz xzy b yxz xzy zyx a 33 += yxz xzy zyx b yxz xzy zyx a 33 += yxz xzy zyx ba)( 33+ =. (3)0 ) 3() 2() 1( ) 3() 2() 1( ) 3() 2() 1( ) 3() 2() 1( 2222 2222 2222 2222 = + + + + dddd cccc bbbb aaaa ; 证明 2222 2222 2222 2222 ) 3() 2() 1( ) 3() 2(
9、) 1( ) 3() 2() 1( ) 3() 2() 1( + + + + dddd cccc bbbb aaaa (c4c3, c3c2, c2c1 得) 523212 523212 523212 523212 2 2 2 2 + + + + = dddd cccc bbbb aaaa (c4c3, c3c2得) 0 2212 2212 2212 2212 2 2 2 2 = + + + + = dd cc bb aa . (4) 4444 2222 1111 dcba dcba dcba =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d); 证明 4444 2222 1
10、111 dcba dcba dcba )()()(0 )()()(0 0 1111 222222222 addaccabb addaccabb adacab = )()()( 111 )()( 222 addaccabb dcbadacab + = )()(0 0 111 )()( abdbddabcbcc bdbcadacab + = )()( 11 )()()()( abddabcc bdbcadacab + = =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d). (5) 1221 1 000 00 10 00 01 axaaaa x x x nnn + =xn+a1x
11、n1+ +an1x+an . 证明 用数学归纳法证明. 当 n=2 时, 21 2 12 2 1 axax axa x D+= + =, 命题成立. 假设对于(n1)阶行列式命题成立, 即 Dn1=xn1+a1 xn2+ +an2x+an1 则D , n 按第一列展开, 有 1 11 00 1 00 01 )1( 1 1 += + x x axDD n nnn =xD n1+an=xn+a1xn1+ +an1x+an 因此, 对于 n 阶行列式命题成立. . 6. 设n阶行列式D=det(aij ), 把D上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转, 依次得 n nnn aa aa D 1
12、11 1 1 =, 111 1 2 n nnn aa aa D = , 111 1 3 aa aa D n nnn =, 证明DDD nn 2 ) 1( 21 ) 1( =, D3 证明 因为D=det(a =D . ij ), 所以 n nnn n n n nnn aa aa aa aa aa D 221 1 111 1 111 1 1 ) 1( = = = = ) 1() 1( 331 1 221 111 21 n nnn n n nn aa aa aa aa DD nn nn 2 ) 1( ) 1()2( 21 ) 1() 1( + + =. 同理可证 nnn n nn aa aa D
13、= ) 1( 1 111 2 ) 1( 2 DD nn T nn 2 ) 1( 2 ) 1( ) 1() 1( =. DDDDD nn nnnnnn = ) 1( 2 ) 1( 2 ) 1( 2 2 ) 1( 3 ) 1() 1() 1() 1(. 7. 计算下列各行列式(Dk (1) 为k阶行列式): a a Dn 1 1 =, 其中对角线上元素都是 a, 未写出的元素 都是 0; 解 a a a a a Dn 0 001 0 000 00 00 00 00 10 00 =(按第 n 行展开) ) 1() 1( 1 0 000 00 00 00 00 10 000 ) 1( + = nn n a a a ) 1() 1( 2 ) 1( + nn n a a a
